Es mi entendimiento de que el conjunto de todas las curvas de Jordan y el conjunto de los números reales que son de la misma cardinalidad. Así, se deduce que debe existir un bijection entre ellos. Hay un conocido, explícita bijection entre estos dos conjuntos? Si es así, ¿qué es?
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DanV
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Recordemos que una de la curva de Jordan es una continua inyección desde el círculo en $\Bbb R^2$. En primer lugar vamos a ver que, de hecho, sólo hay $2^{\aleph_0}$ Jordania curvas, entonces podemos hablar de lo explícito.
El círculo unidad tiene la misma cardinalidad como los números reales (por qué?) y es separable espacio, es decir que tiene una densa contables subconjunto. Recordemos que una función continua es la única extendido a partir de los valores que toma un subconjunto denso. Así que podemos arreglar $Q$ a ser una contables subconjunto denso y dos curvas de Jordan que tomar los mismos valores cuando se limita a que el conjunto tiene que ser igual.
De ello se sigue, si es así, que la colección de todas las funciones continuas de $S^1$ $\mathbb R^2$tiene la cardinalidad de a la mayoría de las $2^{\aleph_0}$, como se demuestra en el siguiente argumento, $$\left|(\Bbb R^2)^Q\right|=|\mathbb R^2|^{|Q|}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|.$$
Así, la colección Jordan de curvas no puede tener más de $2^{\aleph_0}$ elementos; pero también puede tener menos. Simplemente tenga en cuenta que si $r\in\mathbb R$ es un número positivo, entonces la ampliación de la unidad de un círculo, el círculo de radio $r$ es una de la curva de Jordan. Por lo tanto, tenemos $$|\mathbb R|\leq|\cal J|\leq|\mathbb R|.$$ (Donde $\cal J$ es el conjunto de todas las curvas de Jordan.)
Por el Cantor-Bernstein teorema se sigue que $|\cal J|=|\Bbb R|$.
Pero espere un minuto, que en realidad no escribir cualquier explícita bijection! Solo estoy tirando de sus piernas con algunos matemáticos tonterías? Bien, no. Yo no soy en realidad. El Cantor-Bernstein teorema nos permite generar una explícita bijection de recibir inyecciones. Es casi nunca un bonito bijection, aunque. Cuando pensamos en "funciones explícitas" a menudo pensamos en términos de "$x\mapsto x^2+e^{\pi x}$ o algo así, algunos buenos cerrado término de la fórmula. Pero la verdad es que la mayoría de las funciones no puede ser escrito como ese, o incluso la pieza sabio como eso.
Si uno está tan inclinado, a continuación, todo es posible trabajar a partir de las igualdades y desigualdades de las diversas inyecciones necesarias y utilizar el Cantor-Bernstein teorema de escribir una explícita bijection, pero esta función no va a ser muy bonito.
