Una pregunta relacionada con el principio de reflejo

Question

Pregunta:

$$P(X_1\gt 0, ..., X_n\gt 0, X_n=a-b)=?$$

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Su Respuesta:

$= (1,1) \rightarrow (n,a-b) $ que cumplen ni tocar ni cruzar caminos.

$=[(1,1) \rightarrow (n,a-b) \ \ \text{all paths}]-[(1,1) \rightarrow (n,a-b) \ \text{that meet touch or cross paths.}]$

$$=[(1,1) \rightarrow (n,a-b) \ \ \text{all paths}]-[(1,-1) \rightarrow (n,a-b) \ \ \text{all paths}]$$

$$=\binom{n-1}{n-1+a-b-1\over 2}-\binom{n-1}{n-1+a-b+1\over 2}$$

$$=\binom{a+b-1}{a-1}-\binom{a+b-1}{a}$$

donde $n=a+b$

He utilizado la reflexión principe que $= (1,1) \rightarrow (n,a-b) $ que cumplen con los toquen o crucen en el camino. igual a $(1,-1) \rightarrow (n,a-b) \ \ \text{all paths}$

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Mi pregunta real:

Pero si tengo $$P(X_1\ge 0, ..., X_n\ge 0, X_n=a-b)=?$ $ ¿cómo puedo resolver esta cuestión como mi solución anterior. ¿Cómo puedo utilizar la reflexión principio? Por favor explique. Muchas gracias:)

Answer 1

Tomar cualquier camino de $P$$(0,0)$$(n,a-b)$. Mediante la adición de un $+1$ paso de $(-1,-1)$ $(0,0)$ahora tenemos un camino de $P^{'}$ de la longitud de la $n+1$$(-1,-1)$$(n,a-b)$. Ahora cambio de ruta de $P^{'}$ una unidad y una unidad a la derecha, que nos da un camino de $P^{''}$$(0,0)$$(n+1,a-b+1)$.

Ahora, para $i\geq 1,\;$ $P$ tiene todos sus $X_i\geq 0\;$ fib $\;P^{''}$ tiene todos sus $X_i\gt 0$.

Por lo que podemos utilizar su resultado anterior, la sustitución de $a$$a+1$, para contar el número de rutas de $P^{''}$:

\begin{eqnarray*} && \#\{\text{paths %#%#% with %#%#%}\} \\ && \quad = \#\{\text{paths %#%#% with %#%#%}\} \\ && \quad = \binom{a+b}{a} - \binom{a+b}{a+1}. \end{eqnarray*}