¿Por qué son espacios topológicos interesante el estudio?

Question

En introductorio de análisis real, yo sólo trataba de $\mathbb{R}^n$. Entonces vi que los límites pueden ser definidas en más espacios abstractos de $\mathbb{R}^n$, es decir, la métrica de los espacios. Esta abstracción parecía "natural"para mí. Entonces, yo sabía que los espacios topológicos. Sin embargo, esta vez la abstracción no parece natural/útil para mí. Entonces uno se topa con problemas de clasificación de los espacios en normal/ primer contables ... En mi opinión, estos se debió a que el alto nivel de abstracción adoptada por el estudio de espacios topológicos. Cuando uno utiliza una definición más general de un espacio, es posible que el número de interesantes objetos de aumentar. Supongo que esto es lo que sucedió aquí, utilizamos una definición muy general de espacios topológicos, tenemos un montón de interesantes espacios, luego volver y hacer clasificaciones como la normal, Hausdorff,..

Yo estaba tratando de justificar a mí mismo por qué son espacios topológicos son buenas para estudiar. La mejor y la única razón por la que puedo proponer es que la categoría de $$ es bicomplete.

Pregunta 1: (Alternativas a $$)

Si esta es la única razón, no puede existir un "menor" de la categoría que contiene todos los espacios métricos y es bicomplete ?

Pregunta 2: (la Historia de los espacios topológicos)

He mencionado que la abstracción de la métrica espacios para espacios topológicos no parece muy natural para mí. Tengo la sospecha de que, históricamente, métrica espacios fueron estudiados antes de espacios topológicos. Si este es el caso, me gustaría saber cuál fue la motivación, la justificación de esta abstracción.

Pregunta 3: (Aplicaciones de la no-métricas de la topología de fuera de la topología)

He mencionado antes que "tenemos un montón de interesantes espacios". Tal vez me equivoco (espero estar equivocado). Me gustaría valor no-métricas de espacios topológicos más, si puedo ver ejemplos de teoremas tales que:

1) Los teoremas están en una rama de las matemáticas fuera de la Topología

2) Los teoremas son probados con la ayuda de topología

3) La topológico parte acerca de la prueba del teorema es acerca de un no-espacio métrico

Edit: ${}$ no-artificial casos de no-métricas de los espacios que aparecen en otras ramas de las matemáticas son valiosos también.

Gracias

Answer 1

El espacio de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, que es el espacio de todas las funciones de $\mathbb{R}$ a sí mismo con la topología de pointwise convergencia, no es un espacio métrico (no es la primera contables). Este tipo de función de espacio surge en muchas áreas de las matemáticas. El problema es que sólo contables productos de métrica espacios deben ser métrica, pero la función de espacios como este son innumerables productos.

Answer 2

Esto se trata solamente de la tercera parte de sus preguntas.

Ha habido un montón de trabajo interesante últimamente por Martín Escardó, Pablo Taylor, y otros que interpreta la computabilidad en términos de topología. Resulta que, por ejemplo, que una función de predicado $p:X\to\def\Bool{\mathbf{Bool}}\Bool$ es efectivamente computable si y sólo si es continua. Pero para hacer que funcione lo que no puede dar $\Bool = \{\mathbf{True}, \mathbf{False}\}$ una métrica de la topología. Más bien, la correcta topología la topología de Sierpiński en el que $\{\mathbf{Verdadero}\}$ es abierto y $\{\mathbf{False}\}$ es no.

Otras nociones topológicas llegar a ser importante. Por ejemplo, considere la función $\def\fa{\mathtt{forall}}\fa$, lo que lleva a un computable predicado $p: X\a\Bool$, y devuelve la verdad de $$\forall x\in X. p(x).$$ ($\fa$ es una asignación de $\Bool^X\a\Bool$.) Resulta que $\fa$ es computable si y sólo si $X$ es topológicamente compacto. Esto tiene algo de raro-aparente implicaciones: $\fa$ no está garantizada para terminar en los números naturales $\Bbb$ N, pero es computable y garantizado para terminar en el Alexandroff compactification $\Bbb N\cup \{+\infty\}$. Y asimismo, desde el conjunto de Cantor de todas las secuencias de $\Bbb N\a \Bool$ es compacto, $\fa$ puede aplicarse de manera efectiva para dar un resultado correcto para cualquier predicado $p$ definidas en secuencias, a pesar de que el espacio de secuencias es incontable.

Answer 3

A pesar de un resultado conocido, uno de los más ordenado y sea más fácil de comprender las aplicaciones de la topología de la que nunca se menciona una métrica es Furstenberg la infinitud de los números primos.

En otra nota, la geometría algebraica se basa en un no-métricas topology (Topología de Zariski) donde se puede definir una topología $\Bbb C^n$, mediante la descripción de los conjuntos cerrados como si que son ceros por un conjunto de polinomios (por ejemplo un conjunto cerrado se llama afín algebraicas conjunto). En esta topología de cualquier conjunto abierto es denso, por lo que usted no puede incluso puntos separados en distintos barrios. En la más moderna de la geometría algebraica este afín algebraica puede ser comparado a un esquema afín (primer espectros de unos $\mathbb C$ álgebra), y su estructura como un espacio topológico y un haz de anillos más, puede dar una idea de los anillos de la estructura.

Answer 4

CITA:no-artificial casos de no-métricas de los espacios que aparecen en otras ramas de las matemáticas son valiosos también.

Deje que $U$ ser un no-vacío abierto subconjunto de $\mathbb{R}^n$, $n \ge 1$. Una función de prueba en $U$ es una función suave de $U \rightarrow \mathbb{R}$ con soporte compacto. Deje de $D(U)$ el conjunto de funciones de prueba en $U$. Este es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Podemos definir una cierta topología en $D(U)$ que $D(U)$ localmente convexo y completa. Esta topología no es metrizable. El espacio dual de $D(U)$ se llama el espacio de las distribuciones en $U$.

http://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(matemáticas)

Answer 5

Parece que nadie ha mencionado los espacios de distribuciones. Estos son duales de espacios de funciones y están dotados con los más débiles, de la topología. En general esta topología no es metrizable. Este es un elemento fundamental de la construcción de la moderna teoría de ecuaciones en derivadas parciales y hay un montón de libros con muchos de los resultados (Hormander, Gel'fand y Shilov, etc.). Ver también esta respuesta