Por favor, calcular el $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

Question

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}$$

He intentado esto

$$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\ln(\cos x)+1}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\right)$$

pero $\dfrac{1}{x^2}$ es subir hasta el infinito. Por favor, conteste, ¿cómo resolver utilizando métodos sencillos. Gracias de antemano!

Answer 1

Primero escribo $\ln(\cos x)$$\frac{1}{2}\ln(1-\sin^2 x)$, luego de ver el cuando $x\to 0$, $\sin^2 x$ es muy pequeño. Sabemos que cuando la función de $\alpha(x)$ es muy pequeña, $\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)$ $$\ln\left(\cos x\right)=\frac{1}{2}\ln(1+(-\sin^2 x))\sim \frac{-1}{2}\sin^2(x)$$

Ahora tome su límite con este hecho de nuevo.

Answer 2

Sugerencia#1: Usted puede utilizar estas series (los puedes encontrar aquí) $$\cos(x)\approx1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$ $$\ln(1-x)\approx -x+o(x)$$

Aquí he utilizado la notación O

Después de la aplicación coherente de estas series, obtendrá la respuesta correcta $-\frac{1}{ 2}$

Editar

Sugerencia#2 $$\ln(\cos(x))\approx\ln\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\approx-\frac{x^2}{2}+o\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\approx-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

Todas las propiedades de $o(f)$ usted puede encontrar aquí (en la sección "Poco-o la notación")

Answer 3

Solución sin De-L'Hôpital, Taylor Expansiones o assymptotic igualdades, pero suponiendo que el límite existe:

Primero probar que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)}{x}=0$$ Esto se deduce del hecho de que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)-\ln(\cos 0)}{x}=(\ln(\cos x))^{\prime}(0)$$ Ahora definir $$f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(\cos x)}{x}& x\neq 0\\ 0& x=0\end{casos}$$ $f$ es continua en todas partes y diferenciable, al menos, en $\mathbb{R}^*$ Observar que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$$ y así tenemos que evaluar $f^{\prime}(0)$ (después de probar su existencia). Hemos estado: $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)$$ De hecho, por el Valor medio Teorema de $x>0$, $\exists \xi_x\in (0,x)$ de modo que $$f^{\prime}(\xi_x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}$$ Dejar $x\to 0^+$, $\xi\to 0^+$ y por lo $$\lim_{x\to 0^+}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}$$ Asimismo, para $x<0$ (la de arriba se hace asumiendo $\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)$ existe).

Queda por mostrar $\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)$ existe y a evaluar. Mostrando existencia no será trivial, como el límite de $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x^2}$ re-aparece, aunque con un signo menos. Suponiendo la existencia de $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x^2}$ sin embargo, uno puede evaluar fácilmente como $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)$$ (el límite último tendrá un plazo $-\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x^2}$ y otro límite. Par $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x^2}$ y usted será hecho

Por supuesto, si la existencia no es asumido, habría que utilizar otros trucos.

Answer 4

(utilizando la regla de L'Hospital) $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\tan x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{2\cos^2x}=-\frac{1}{2}$$