Si $p(x)$ ha entero y los coeficientes de $p(100)$ es igual a $100$ ¿cuál es el máximo número de entero de soluciones de $k$ a de la ecuación de $p(k)=k^3$.
He intentado duro para resolver este problema, pero yo no podía entenderlo. Traté de algunos casos particulares, pero no consiguió nada, podría alguien por favor, muéstrame cómo obtener la respuesta.
El número máximo es de $10$.
La pregunta en cuestión es equivalente a:
Entre todos los $f(x) = (x+100)^3 - p(x+100) \in \mathbb{Z}[x]$ si $f(0) = 100^3 - 100 = 999900$, ¿cuál es el número máximo de distintas entero raíces de $f(x)$?
Para solucionar esto, vamos a utilizar un elemental hecho:
Si $\alpha$ es un número entero de la raíz para$\tilde{f}(x) \in \mathbb{Z}[x]$, $\tilde{f}(x) = (x-\alpha) \tilde{g}(x)$ algunos $\tilde{g}(x) \in \mathbb{Z}[x]$.
Aplicar esto a nuestro $f(x)$. Si $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ es de la colección de los distintos entero raíces de $f(x)$, podemos encontrar un polinomio $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tal que $$f(x) = g(x) \prod_{k=1}^n(x-\alpha_k)$$
En particular, esto implica $$f(0) = (-1)^n g(0) \prod_{k=1}^n \alpha_k \implies \prod_{k=1}^n \alpha_k {\huge |} f(0)$$
Para maximizar $n$, el número de distintas raíces para $f(x)$, sólo necesitamos para dividir $f(0)$ en un producto de la cantidad de divisores como sea posible.
Aviso de $f(0) = 999900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 101$ es un producto de $8$ divisores. Junto con los dos divisores $\pm 1$ que puede tirar de forma gratuita, el número de los distintos entero raíces es en la mayoría de las $8 + 2 = 10$. De hecho, es posible la construcción de un $f(x)$ $10$ distintos entero raíces. Considere la posibilidad de
$$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{10} = \pm 1, \2 pm, \pm 3, \pm 5, 11, 101$$
Tenemos una posible solución para $f(x)$ donde $n$ es maximizada a $10$. $$\begin{align} f(x) &= (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)(x^2 - 25)(x-11)(x-101)\\ &= x^{10}-112 x^9+1072 x^8+4368 x^7-42930 x^6-44688 x^5+442028 x^4\\ &\quad+ 141232 x^3-1400071 x^2-100800 x+ 999900 \end{align}$$ El correspondiente $p(x)$ que $10$ distintos entero raíces está dada por: $$\begin{align} p(x) &= x^3-g(x-100)\\ &= -x^{10} + 1112 x^9 - 551872 x^8 + 161173232 x^7 - 30705059470 x^6\\ &\quad+ 3990289006688 x^5 - 358464703286028 x^4 + 21992178045469969 x^3\\ &\quad- 882234798357910329 x^2 + 20904472307595126600 x\\ &\quad- 222240760927578369900 \end{align} $$
Si $p(100)=100$ $p(x)$ es de la forma $$ p(x)=(x-100)q(x)+100 $$ con $q(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros. Ahora $p(x)=x^3$ implica que $$(x-100)\mid(x^3-100),\tag{1}$$ por lo tanto: $$(x-100)\mid 999900=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 11\cdot 101. \tag{2}$$ Esto sólo puede ocurrir si $(x-100)$ es un divisor entero de $999900$, por lo tanto, de no más de $$3\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 216$$ los posibles valores enteros de a $x$. Ahora está levantado a usted para demostrar que nos puede ha $216$ soluciones (sólo tienes que utilizar el polinomio de interpolación para encontrar un buen $q(x)$), o no. Considerar que para cualquier polinomio con coeficientes enteros, $(a-b)$ siempre es un divisor de a $p(a)-p(b)$.
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