Es allí cualquier sumas parciales de la serie armónica, que es un entero?

Question

es allí cualquier sumas parciales de la serie armónica, que se suman a un número entero? las sumas parciales no tan trivial como el primer término es decir, sólo 1, o las potencias de 2.i.e las series geométricas infinitas para 2.

Esto puede ser extremadamente obvio para un subgrupo de permutaciones de los recíprocos de algunos enteros.

PS: ya hay otro problema resuelto que los estados $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ no es un número entero para todos los $n$, pero mi pregunta permite eliminar finitos o infinitos subconjuntos de términos, excepto 1 y serie geométrica de 2.

Answer 1

Una manera de producir sumas parciales que añadir a $1$: elija un número natural $N$ y escritura de los Egipcios Fracción de expansión para $\frac {N-1}N$. Entonces, a menos $\frac 1N$ aparece en esa expansión, añadiendo $\frac 1N$ a la lista se presenta un ejemplo.

Por ejemplo, a partir de $N=347$ tenemos el ejemplo de $$\frac 12 +\frac 13+\frac 17+\frac 1{48}+\frac 1{347}+\frac 1{10600}+\frac 1{154484400}=1$$ (felizmente, wolfram alpha sabe cómo calcular fracciones Egipcias).

Esto da lugar a una pregunta que podría ser de algún interés: Para que los números naturales $N>1$, $\frac 1N$ aparecen en el Egipcio fracción de expansión de $\frac {N-1}N$? Por ejemplo, $\frac 34=\frac 12+\frac 14$ o $\frac {11}{12}=\frac 12+\frac 13+\frac 1{12}$ o $\frac {83}{84}=\frac 12+\frac 13+\frac 17+\frac 1{84}$. Además de la búsqueda también se presentó los ejemplos $N=3612, 6526884$. OEIS reconoce estas como las piernas en un número entero de Pitágoras a los triángulos con algunas buenas propiedades. Debo añadir que mi búsqueda no fue del todo completa. Una vez me dieron el patrón de OEIS he comprobado más términos en que secuencia y confirmó que tenían la propiedad deseada.

Edit: para que quede claro, nos estamos refiriendo a que la expansión que se obtienen mediante el algoritmo voraz. Egipcio expansiones no son únicos y es fácil de producir ejemplos de utilización de "no codicioso" expansiones.

Answer 2

Desde $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} < 1$, cualquier ejemplo debe incluir, al menos, $3$ fracciones, y no es difícil ver que $$\phantom{(\ast)} \qquad 1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6}, \qquad (\ast)$$ es el único ejemplo de la longitud de la $3$.

También se puede aprovechar las identidades entre las fracciones de la forma $\frac{1}{n}$ (llamado Egipcio fracciones) como $$\tfrac{1}{m} = \tfrac{1}{m + 1} + \tfrac{1}{m (m + 1)} .$$ Indeed, applying this to the (inadmissible) decomposition $1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}$ gives $(\ast)$, and applying this to $(\ast)$ da tanto $$1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{12}$$ y lulu ejemplo, $$1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{42} .$$ Hay exactamente cuatro ejemplos más de la longitud de la $4$ (para un total de $6$ ejemplos de este tipo) y $72$ ejemplos de la longitud de la $5$. (Ver esta calculadora, que van a generar todos los ejemplos de una longitud dada.)

Answer 3

Usted también puede encontrar infinito de la subserie de la serie armónica que convergen para cualquier número real positivo $x$, si $x$ es un entero, racional o irracional. Lo mismo es cierto para cualquier divergentes de la serie $\sum a_n = \infty$ donde $\lim_n a_n = 0$.

Para encontrar una subserie $\sum_{i} a_{n_i} = x$, para cada una de las $j$, elige $$n_j = \min\left\{n \in \Bbb N \mid n > n_{j-1} \text{ and } a_n < x - \sum_{j= 0}^{i - 1} a_{n_i}\right\}$$

Por ejemplo, $$\frac 1{1} + \frac 1{2}+ \frac 1{3}+ \frac 1{7}+ \frac 1{43}+ \frac 1{1807} + ... = 2$$