Quiero demostrar que la surjectivity es estable bajo cambio de base: si $f:X\to S$ un surjective de morfismos de esquema y $\varphi:T\to S$ $f_T:X\times_S T\to T$ es surjective.
Idea 1: sé que para todos los $t\in T$, $f_T^{-1}(t)\simeq (X\times_S T)\times_T \mathrm{Spec}(k(t))\simeq X\times_S \mathrm{Spec}(k(t))$ y (por la misma razón) con $s=\varphi(t)$, $f^{-1}(s)\simeq X\times_S\mathrm{Spec}(k(s))\neq\emptyset$. Pero, ¿cómo deducir que $X\times_S \mathrm{Spec}(k(t))\neq\emptyset$? Tal vez como $k(t)\simeq k(s)$ (topológicamente) lo $\mathrm{Spec}(k(t))\twoheadrightarrow\mathrm{Spec}(k(s))$$X\times_S \mathrm{Spec}(k(t))\twoheadrightarrow X\times_S \mathrm{Spec}(k(s))$?
Idea 2: deje $s=\varphi(t)$$x\in X$, de modo que $f(x)=s$$f(s)=\varphi(t)$. En lo puramente conjunto teórico de la construcción de la $X\times_S T$ esto podría implicar la existencia de $z\in X\times_S T$$f_T(z)=t$. Pero el fibred-producto de la combinación no es así...
