Yo estaba haciendo algunos problemas de Rudin los Principios de Análisis Matemático , y se topó con un problema en el que él te pide demostrar Hölder de la desigualdad a través de los Jóvenes de la desigualdad:
Si $u$ $v$ son no negativos los números reales, y $p$ $q$ son números reales positivos tales que $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,$\displaystyle uv \leq \frac{1}{p}u^p+\frac{1}{q}v^q$.
Estoy familiarizado con la prueba de uso de la convexidad de la $\log$ función y la desigualdad de Jensen, pero Rudin no se ha definido el $\log$ función en el capítulo 6 (donde este problema se origina) y no ha hecho nada con la convexidad. Por lo general, él le da todo lo necesario para un problema antes de que él plantea uno, así que este parece ser algo de una omisión. Tal vez él quiere que nosotros para leer el Capítulo 8 para aprender acerca de $\log$ y demostrar la desigualdad de Jensen antes de atacar este problema? Pero entonces, ¿por qué ponerlo en el Capítulo 6?
Mi pregunta: ¿existe una prueba de Jóvenes de la desigualdad que hace que no se utilice la convexidad de $\log$ o algo similar? Si existe, se puede hacer utilizando sólo el material de los capítulos 1-6 de Principios?
(Para mayor claridad, en el capítulo 1-6 esencialmente cubrir el real sistema de número, de espacio métrico topología, secuencias y series, la continuidad, la diferenciabilidad, y la de Riemann-Stieltjes integral.)
