Encontrar la ecuación de la mediana, sin encontrar sus vértices

Question

Hay un triángulo ABC. Ecuación de AB es $x + y = 2$, la Ecuación de CA $2x + 3y = 5$ y de la Ecuación de BC es $5x - y = 7$.

Dada anteriormente, ¿cómo puedo encontrar la ecuación de la mediana $AD$ sin encontrar los vértices del triángulo ABC?

Answer 1

Es fácil comprobar que si los puntos de $B$ $C$ tenían el mismo $x$ coordinar, entonces la pendiente de la mediana $AD$ sería el promedio de las pendientes de las líneas de $AB$$AC$: $$ m_{AD}={y_D-y_A\sobre x_D-x_A}={(y_B+y_C)/2-y_A\sobre x_D-x_A} ={1\over2}{y_B-y_A\sobre x_B-x_A}+{1\over2}{y_C-y_A\sobre x_C-x_A} ={1\over2}(m_{AB}+m_{AC}). $$

Como $m_{BC}=5$, podemos tener la línea $BC$ paralelo a la $y$-eje si realizamos una rotación en sentido antihorario de un ángulo $\phi={\pi\over2}-\arctan5=\arctan{1\over5}$. En virtud de dicha rotación, la pendiente $m=\tan\theta$ de un genérico línea se convierte en $m'=\tan(\theta+\phi)$, que es: $$ m'={m+1/5\más de 1 m/5}. $$ Es entonces fácil para calcular las pendientes de las líneas de $AB$ $AC$ después de la rotación: $$ m'_{AB}=-{2\over3},\quad m'_{AC}=-{7\más de 17}, $$ y, a continuación, encontrar la pendiente de la mediana $AD$ después de la rotación: $$ m'_{AD}={1\over2}(m'_{AB}+m'_{AC})=-{55\over102}. $$ Podemos, a continuación, gire de nuevo por el mismo ángulo para encontrar $m_{AD}$: $$ m_{AD}={m'_{AD}-1/5\más de 1+m'_{AD}/5}=-{29\over35}. $$ Encontrar la ecuación de la línea $AD$ podemos entonces considerar una combinación lineal de las ecuaciones de las líneas de $AB$$AC$: $$ \alpha(x+y-2)+\beta(2x+3y-5)=0. $$ Esta ecuación representa el lápiz de todas las líneas que circulan a través de $A$ y sólo tenemos que elegir ahora los coeficientes de $\alpha$ $\beta$ de manera tal que la pendiente de la línea correspondiente es $m_{AD}$. Esto conduce a la ecuación $$ -{\alpha+2\beta\\alpha+3\beta}=-{29\over35}, \quad\hbox{que}\quad {\alpha\\beta}={17\over6}, $$ los cuales pueden ser satisfechos por ejemplo, por $\alpha=17$$\beta=6$. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior finalmente se da la ecuación de la línea $AD$: $$ 29x+35y-64=0. $$

Answer 2

Yo primero considera algo a lo largo de las líneas de @Aretino la pendiente promedio de argumento. Desde que se ha hecho, voy a utilizar un área de reducir a la mitad el argumento. Escribir $$\begin{align} \overleftrightarrow{BC}: &\quad h_1 x+k_1y+p_1=0 \\ \overleftrightarrow{CA}: &\quad h_2 x+k_2y+p_2=0 \\ \overleftrightarrow{AB}: &\quad h_3 x+k_3y+p_3=0 \end{align} \etiqueta{1}$$

La ecuación de la mediana de la a través de $A$ debe ser una combinación de las otras líneas a través de $A$, dicen, $$\overleftrightarrow{AD}=m\overleftrightarrow{AB}+\overleftrightarrow{CA}: \quad (h_2+m h_3)x+(k_2+mk_3)y+(p_2+mp_3) = 0 \tag{2}$$

Ahora, nos referiremos a una ingeniosa fórmula, primero trajo a mi atención en esta cuestión, que da el área de un triángulo a partir de las ecuaciones de sus líneas. (Esto podría estar fuera del alcance de OP de la clase, pero, como @G-man se menciona en la pregunta, la fórmula merece una mayor familiaridad, por lo que yo estoy haciendo mi parte para promover.)

$$|\triángulo ABC| = \frac{\left|\begin{array}{ccc} h_1 & k_1 & p_1 \\ h_2 & k_2 & p_2 \\ h_3 & k_3 & p_3 \end{array}\right|^2}{2 \left|\begin{array}{cc} h_1 & k_1 \\ h_2 & k_2 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2 & k_2 \\ h_3 & k_3 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_3 & k_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|} \etiqueta{$\star$}$$

Técnicamente, el área es el valor absoluto de la expresión de arriba, pero podemos suponer que las líneas se ordenan correctamente a fin de dar un no-resultado negativo. En la escritura de una expresión para $\triangle ADC$, $D$ el punto medio de la $\overline{BC}$, que necesita para asegurarse de que la delimitación de las líneas se ordenan de la misma manera; es decir, $\overleftrightarrow{DC}$ (que es, $\overleftrightarrow{BC}$), $\overleftrightarrow{CA}$, y $\overleftrightarrow{AD}$, también tenemos $$|\triángulo ADC| = \frac{\left|\begin{array}{ccc} h_1 & k_1 & p_1 \\ h_2 & k_2 & p_2 \\ h_2+mh_3 & k_2+mk_3 & p_2+mp_3 \end{array}\right|^2}{2 \left|\begin{array}{cc} h_1 & k_1 \\ h_2 & k_2 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2 & k_2 \\ h_2+mh_3 & k_2+mk_3 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2+m h_3 & k_2+mk_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|} \etiqueta{3}$$ Recordemos que los factores determinantes son iguales si queremos sustituir una fila por una combinación lineal de la fila con otro. También, podemos "factor" un factor común en una fila. Por lo tanto, $$\begin{align}|\triangle ADC| &= \frac{\left|\begin{array}{ccc} h_1 & k_1 & p_1 \\ h_2 & k_2 & p_2 \\ mh_3 & mk_3 & mp_3 \end{array}\right|^2}{2 \left|\begin{array}{cc} h_1 & k_1 \\ h_2 & k_2 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2 & k_2 \\ mh_3 & mk_3 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2+m h_3 & k_2+mk_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|} \\ &= \frac{m\left|\begin{array}{ccc} h_1 & k_1 & p_1 \\ h_2 & k_2 & p_2 \\ h_3 & k_3 & p_3 \end{array}\right|^2}{2 \left|\begin{array}{cc} h_1 & k_1 \\ h_2 & k_2 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2 & k_2 \\ h_3 & k_3 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} h_2+m h_3 & k_2+mk_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|} \end{align} \etiqueta{4}$$ Observe que las expresiones para $|\triangle ABC|$ $|\triangle ADC|$ tienen mucho en común, y que podemos escribir $$\frac{|\triángulo ADC|}{|\triángulo ABC|} = \frac{m\left|\begin{array}{cc} h_3 & k_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} h_2+mh_3 & k_2+mk_3 \\ h_1 & k_1 \end{array}\right|} = \frac{m(h_3 k_1 - h_1k_3)}{h_2k_1-h_1k_2+m(h_3k_1-h_1 k_3)} \etiqueta{5}$$ Finalmente, invocamos el hecho de que la mediana divide en dos partes iguales de un triángulo de área: la proporción en $(5)$$1/2$, lo que nos dice

$$m = \frac{h_1 k_2-h_2 k_1}{h_1k_3-h_3 k_1} \tag{$\estrellas\estrella de$}$$

Para el problema en cuestión, $m = 17/6$, por lo que

$$\overleftrightarrow{AD}: \quad 29x + 35 y - 64 = 0$$

como en @Aretino la solución. $\square$

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Nota. Como en esa otra respuesta, asumiendo nuestras ecuaciones originales están en forma normal proporciona un insight geométrico; es decir, $$m = \frac{\sin C}{\sin B}$$ así que $$\overleftrightarrow{AD} \;=\; \overleftrightarrow{AB}_{\text{n}}\;\sin C + \overleftrightarrow{AC}_{\text{n}}\;\sin B$$ donde "n" indica que vamos a usar la forma normal en el cálculo. (La ecuación resultante no será necesariamente en forma normal.) Que ingenioso!

Answer 3

1) Dibujar dos parallels $B_1C_1$ $B_2C_2$ a la línea de $BC: 5x-y=7$, por ejemplo,$y=5x-10$$y=5x-\dfrac{25}{2}$.

2) calcular las intersecciones de $B_1C_1$ con las líneas de $AB$ $AC$ y hacer lo mismo con la línea de $B_2C_2$ así que usted consigue cuatro puntos de $B_1,C_1,B_2,C_2$

3) Usted tiene ahora dos puntos de la mediana que se $P=\dfrac{B_1+C_1}{2}$ $Q=\dfrac{B_2+C_2}{2}$

Cálculo da $$B_1=(2,0),C_1=(\dfrac{35}{17},\dfrac{5}{17}),B_2=(\dfrac{29}{12},\dfrac{-5}{12}),C_2=(\dfrac52,0)\\P=(\frac{69}{34},\frac{5}{34}),Q=(\frac{59}{24},\frac{-5}{24})$$ Thus the equation $$\color{red}{29x+35y=64}$$

Answer 4

Ecuación de AB es $x + y = 2$, la ecuación de CA $2x + 3y = 5$

La trampa de alguna manera, es evidente por inspección que ambas líneas pasan a través de $\,(1,1)\,$. Entonces, la elección de un plano complejo con el origen en $\,(1,1)\,$, las condiciones pueden ser escritos (con $\,\lambda, \mu, \nu \in \mathbb{R}\,$) como:

$$ \begin{align} b &= \lambda (1-i) \\ c &= \mu (3-2i) \\ b - c &= \nu (1+5i) \end{align} $$

La última ecuación implica $\,\lambda (1-i) - \mu (3-2i) = \nu (1+5i) \iff \begin{cases}\lambda - 3 \mu = \nu \\ -\lambda+ 2 \mu = 5 \nu \end{cases}\,$. La eliminación de $\,\nu\,$ entre los dos da $\,-\lambda+2\mu=5(\lambda-3\mu) \iff6 \lambda = 17 \mu\,$. De ello se sigue que:

$$ 2d = b+c = \lambda (1-i) + \mu (3-2i) = \frac{\mu}{6}\big(17(1-i)+6(3-2i)\big) = \frac{\mu}{6} (35-29i) $$

Por lo tanto, la línea media es $\,z = (35-29i)\,t \,\mid\, t \in \mathbb{R}\,$. Traducir a cartesianas:

$$ x-1 + (y-1)i = 35 t -29 t\,i \iff \begin{cases} x-1 = 35 t \\y - 1 = -29 t\end{casos}$$

La eliminación de $\,t\,$ entre las dos últimas ecuaciones se da en la final $\,29x+35y-64=0\,$.