Automorfismos de modelos saturados

Question

Esto es básicamente el ejercicio 10.1.5(c) del libro de Hodges Teoría de los modelos . En primer lugar, recordemos algunas definiciones:

Dejemos que $\lambda$ sea un cardenal, y que $\Sigma$ sea una firma finita de primer orden. A $\lambda$ -saturado $\Sigma$ -estructura es un $\Sigma$ -estructura $A$ tal que se cumpla lo siguiente:

• Si $X$ es un subconjunto de $A$ y $\left| X \right| < \lambda$ , entonces todo completo $1$ -Tipo sobre $X$ con respecto a $A$ se realiza mediante un elemento de $A$ .

Dejemos que $A$ ser un $\Sigma$ -estructura. A definición para un elemento $a$ con parámetros en un subconjunto $X \subseteq A$ es una fórmula de primer orden $\phi (y, \vec{x})$ en $\Sigma$ y una secuencia finita $\vec{b}$ de elementos en $X$ tal que $A \vDash \phi[y, \vec{b}] \leftrightarrow y = a$ . A elemento definible de $A$ en $X$ es un elemento para el que existe una definición con parámetros en $X$ .

Pregunta. Supongamos que $A$ es un $\aleph_0$ -saturado $\Sigma$ -estructura y $a$ es no definible sin parámetros. ¿Por qué debería haber un automorfismo de $A$ que se mueve $a$ ?

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Obviamente, si existe tal automorfismo, entonces tendría que haber un elemento $a'$ en $A$ tal que $a \ne a'$ pero $a$ y $a'$ tienen el mismo tipo con respecto a $A$ ya que los automorfismos preservan los tipos. Esto no es un problema porque podemos utilizar un argumento de compacidad para construir una extensión elemental de $A$ donde hay es tal $a'$ y, a continuación, utilizar $\aleph_0$ -saturación para darse cuenta de que $a'$ en $A$ . Entonces basta con encontrar un automorfismo de $A$ que se mueve $a$ a $a'$ ... pero no está claro cómo debo hacerlo.

El teorema 10.1.8(a) da una solución en el caso en que $A$ es contable, porque entonces podemos enumerar todos los elementos de $A$ y hacer una especie de discusión de ida y vuelta. Si $A$ es $\aleph_0$ -grande entonces podríamos aplicar el ejercicio 10.1.4(a). ¿Y el caso general?

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Adenda. Aquí está el texto completo del ejercicio 10.1.5:

Dejemos que $\lambda$ sea un cardinal infinito, $A$ a $\lambda$ -estructura saturada y $X$ un conjunto de menos de $\lambda$ elementos de $A$ . Demuestre (a) si un elemento $a$ de $A$ no es algebraico sobre $X$ , entonces infinitos elementos de $A$ realizar $\textrm{tp}_A(a/X)$ (b) si un elemento $a$ de $A$ no es definible sobre $X$ , entonces al menos dos elementos de $A$ realizar $\textrm{tp}_A(a/X)$ , (c) $\textrm{ACL}(X) = \textrm{acl}(X)$ y $\textrm{DCL}(X) = \textrm{dcl}(X)$ .

Las partes (a) y (b) son ejercicios bastante sencillos para utilizar el teorema de la compacidad.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Como señalas en la pregunta, hay muchas hipótesis que puedes añadir para que la afirmación sea cierta. De hecho, las equivalencias "definible si es fijado por todos los automorfismos" y "algebraico si es de órbita finita bajo todos los automorfismos" son dos de las razones por las que trabajar en un modelo de monstruo grande, o saturado, o suficientemente saturado y suficientemente homogéneo es tan agradable conceptualmente.

De todos modos, he aquí un contraejemplo:

$\Sigma = \{R\}$ una única relación binaria.

$A = \{a,a'\}\cup B \cup B'$ , donde $B$ es un conjunto contable y $B'$ es un conjunto incontable.

$R = \{(a,b)\,|\,b\in B\}\cup \{(a',b')\,|\,b'\in B'\}$ .

La imagen son dos gráficos, con $a$ y $a'$ en sus centros, y los elementos de $B$ y $B'$ irradiando.

Ahora $A$ es $\aleph_0$ -saturado, y $a$ no es definible sobre el conjunto vacío ( $a'$ satisface todas las mismas fórmulas sin parámetros). Pero $a$ no puede ser desplazado por un automorfismo de $A$ - claramente no se puede trasladar a ningún elemento de $B$ o $B'$ y no se puede trasladar a $a'$ ya que las cardinalidades de $B$ y $B'$ difieren.

Si te sientes cómodo con $A^{eq}$ (que puedes leer en Hodges en la sección Elementos Imaginarios), hay un contraejemplo más obvio. Basta con tomar la teoría de dos clases de equivalencia infinitas, y dejar que $A$ ser un modelo en el que las clases tienen diferentes cardinalidades (y comprobar que esto es $\aleph_0$ -saturado). En $A^{eq}$ hay una ordenación extra que contiene dos elementos, que son representantes genéricos de las clases de equivalencia. Ninguno de estos elementos es definible, pero no pueden ser intercambiados por ningún automorfismo, porque al hacerlo se intercambiarían las clases.

Answer 2

Es un hecho general que para infinitos $\kappa$ , un modelo $M$ es $\kappa$ -saturado si es $\kappa$ -homogéneo y $\kappa$ -universal.

$\kappa$ -homogeneidad de $M$ significa que para cualquier subconjunto $A$ de $M$ de cardinalidad inferior a $\kappa$ y cualquier función elemental $f:A\to M$ y cualquier elemento $a\in M$ , $f$ se extiende a una función elemental $\overline f :A\cup \{a\}\to M$ .

Una noción diferente y más poderosa de la homogeneidad es fuerte $\kappa$ -significa que cualquier función elemental definida en un subconjunto del modelo de cardinalidad inferior a $\kappa$ puede extenderse a un automorfismo de un modelo.

Como muestran los ejemplos de Alex Kruckman, $\kappa$ -la saturación no implica una fuerte $\kappa$ -homogeneidad, sin embargo, no es difícil ver que si un modelo es homogéneo (es decir, es homogéneo en su propia cardinalidad), también es fuertemente homogéneo. En particular, los modelos saturados (es decir, saturados en su cardinalidad) son fuertemente homogéneos, y es fácil ver que para un modelo fuertemente $\kappa$ -homogéneos, los conjuntos pequeños definibles (en particular, los singletons) son exactamente los conjuntos pequeños fijados por los automorfismos (y creo que en realidad es una condición equivalente a la fuerte $\kappa$ -homogeneidad).

En la teoría de modelos, a menudo asumimos que todas las estructuras consideradas son subestructuras de alguna estructura muy grande, a menudo llamada el modelo monstruo, denotado por . Idealmente, la estructura "grande" debería estar saturada y ser más grande que todos los demás modelos considerados, pero la existencia de grandes estructuras saturadas en general requiere supuestos teóricos de conjuntos (por ejemplo, la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles convenientemente grandes, porque cualquier teoría tiene un modelo saturado de tal cardinalidad).

Una forma de evitarlo es construir en su lugar un modelo saturado y fuertemente homogéneo en una cardinalidad lo suficientemente grande (mayor que todos los modelos considerados, y que suele dejarse sin especificar), que sin embargo puede ser más pequeño que el propio, lo que puede hacerse en ZFC solo, y es a efectos prácticos igual de eficaz.