Algoritmo para mantener una versión concreta del argumento de Euclides simple

Question

(Mi pregunta es en la parte inferior de esta publicación.)

Supongamos que usted es la enseñanza de un curso en matemáticas-para-liberal-artes mayores y es el último curso de matemáticas que nunca voy a tomar. Que casi no tiene requisitos previos---decir que no álgebra más allá de la solución de ecuaciones cuadráticas y, probablemente, ni siquiera eso.

Durante un período de tres semanas que he recibido de ellos acostumbrados a la idea de que los números enteros consecutivos nunca puede tener factores primos en común. No demostrarlo mediante un método que utiliza el álgebra (desde entonces su atención estaría en apuros para entender el álgebra), sino más bien se ha señalado que si 56 es múltiplo de 7, entonces el siguiente múltiplo de 7 no es debido hasta 7 unidades más tarde, y los últimos 7 unidades anteriores, por lo que 55 y 57, ciertamente no pueden ser múltiplos de 7. Ellos se han convertido en la tarea en esta idea; de lo que hemos hecho en clase quiz problemas.

Entonces les digo: decir que empezar con algo finito lista de números primos, por ejemplo,$5$$7$. Mutliply ellos y los 35. Considere la posibilidad de dos números enteros consecutivos, 35, y 36. Ellos no pueden tener factores primos en común: $$ \begin{align} 35 & = 5\times 7 \\ 36 & = 2\times2\times3\times 3 \end{align} $$ Para que usted obtenga más números primos que ahora agregar a su lista: $$ 5, 7, 2, 3 $$ Ahora itera $2\times3\times5\times 7 = 210$. Supongamos que en este momento consideramos que los enteros consecutivos de 210 y 209, donde he elegido 209 en vez de 211 debido a sus factores primos no son muy grandes: $$ \begin{align} 210 & = 2\times3\times5\times 7 \\ 209 & = 11\times 19 \end{align} $$ Añadir esto a la lista: $$ 2, 3, 5, 7, 11, 19 $$ Iterar: $2\times3\times5\times7\times11\times19=43890$.

He aquí un hecho desagradable: $43889$ $43891$ son primos. No puedo coger uno para mantener la aritmética moderadamente cómodo.

Por supuesto, todo esto que se presenta en clase va a ser una historia con una moraleja: esta es la forma de demostrar que los números primos siempre seguir adelante; a su lista limitada no puede ser nunca completa.

Mi pregunta: hay alguna manera para producir ejemplos de partida razonable y conjuntos de opciones de $\pm1$ (como hice en el caso de $210$) que va a permitir que esto continúe por un número bastante grande de pasos sin llegar a ser realmente grandes números primos?

Answer 1

En lugar de añadir o restar 1, siempre se puede dividir el producto de la corriente de los números primos en dos mitades y buscar una pequeña suma o diferencia, siguiendo su ejemplo, se puede añadir $$ 3\times 7 \times 19 - 2 \times 5 \times 11 = 17^2$$ como en Euclid del argumento ya conocido el primer divide esta diferencia a medida que se dividen sólo uno de los términos en la izquierda. Pero esto es un poco más difícil de explicar y no estoy seguro de si esto es lo que están buscando.

Incluso con esta idea no se puede ir demasiado lejos en los números primos, como los números se convierte en enorme con bastante rapidez. A partir del 2 y 3, y añadiendo en cada paso la diferencia con por lo menos el mayor factor primo obtenemos la siguiente cadena: $$ \begin{align} 3 + 2 &= 5 \\ 2 \times 5 - 3 &= 7 \\ 3 \times 7 - 2 \times 5 &= 11 \\ 5 \times 11 - 2 \times 3 \times 7 &= 13 \\ 2\times 7 \times 13 - 3\times 5 \times 11 &= 17 \\ 2 \times 3 \times 11 \times 17 - 5 \times 7 \times 13& = 23 \times 29 \\ 7 \times 13 \times 17 \times 23 - 2 \times 3\times 5 \times 11 \times 29 &= 19 \times 37^2 \\ 5 \times 13 \times 19 \times 23 \times 29 \times 37 - 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 17 &= 47 \times 73 \times 83 \times 107 \end{align} $$ el siguiente término es $$\begin{align} & 3\times 5\times 11\times 17\times 23\times 37\times 73\times 107 - 2\times 7\times 13\times 19\times 29\times 47\times 83 = \\ &59\times 97\times 103\times 173\times 179 \end{align}$$ pero no he sido capaz de calcular el siguiente.