Denote por $K$ la realización de $\bigcup_{n \geq 1} \mathbb{Q}_p (\zeta_{p^n})$ donde $\zeta_{p^n}$ es un $p^n$ -enésima raíz de la unidad. ¿Es cierto que cualquier elemento en $K$ es un $p$ -enésima potencia de algún elemento de $K$ ?
Agradezco cualquier ayuda.
No es cierto, excepto para $p=2$ .
Su extensión es (la terminación de) un campo abeliano sobre $\Bbb Q_p$ pero incluso en el caso $p=3$ , $\sqrt[3]3$ no está en él, porque $\Bbb Q_3(\zeta_3,\sqrt[3]3\,)$ es no abeliano sobre $\Bbb Q_3$ .
Ahora que tengo vuestra atención, me gustaría animaros a haceros amigos de la versión más fuerte de Hensel, que no trata de encontrar raíces, sino de elevar una factorización sobre el campo residuo a una factorización sobre el campo completo original. Ahora mismo estoy fuera de casa, así que no puedo dar una referencia precisa, pero está en el excelente libro de Gouvêa.
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@Servaes: Bueno, primero basta con demostrar que cada $x \in K$ de valor absoluto $1$ tiene un $p$ -th raíz. Ahora la idea obvia sería el Lemma de Elevación de Hensel, pero la derivada tiene el factor $p$ que es el principal problema.
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@Servaes: Escribe $f(x) = x^p-u$ para algunos $u \in K$ con $|u|=1$ . Si $f(\alpha) = 0$ esto significa que $|\alpha|=1$ también. Pero entonces $|f'(\alpha)|=|p|=p^{-1}$ por lo que necesitamos construir $\alpha \in K$ tal que $|\alpha|=1$ y $|f(\alpha)|<|f'(\alpha)|^2 = p^{-2}$ . Pero ¿por qué un $\alpha$ para cualquier $u$ ?