Cuadramos una integral, pero ¿por qué cambiar una variable?

Question

Si cuadramos una integral, también cambiamos la variable de integración en una de las integrales. Pero ¿por qué esto es realmente correcto?

Por ejemplo, digamos que tengo lo siguiente:

Resuelve$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$. Deje$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$, entonces
\begin{align} I^2 &=\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\bigg)^2\\ &= \bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\bigg) \times \bigg( \underbrace{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy }_{\text{Why}?} \bigg) \\ &=\int_{-\infty}^\infty\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx\bigg)dy \end{align}

Pero, ¿por qué está mal lo siguiente: \begin{align} I^2 &=\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\bigg)^2\\ &= \bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\bigg) \times \bigg(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\bigg) \\ &=\int_{-\infty}^\infty\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-x^2} dx\bigg)dx \\ &=\int_{-\infty}^\infty\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-2x^2} dx\bigg)dx \qquad ? \end {align}

Answer 1

La respuesta corta es que en su segunda a la última identidad descuidar la cruz en su multiplicación.

Un ejemplo simple puede ser utilizado para demostrar el error, y vamos a utilizar una estricta suma en lugar de una integración para mayor claridad. Tenga en cuenta la suma \begin{equation} \sum_{x=1}^3 x = 1 + 2 +3 = 6. \end{equation} Ahora, el cuadrado de la suma de los rendimientos \begin{align} \left(\sum_{x=1}^3x\right)^2 &= (1+2+3)^2 = (1+2+3)\times(1+2+3) \end{align} Con el fin de calcular correctamente esta cantidad (de larga mano) requiere uno completamente distribuir incluyendo la cruz términos: \begin{align} &\ {\color{white}+}\ 1\times 1 + 1\times 2 + 1\times 3 \notag \\ (1+2+3)\times(1+2+3) =& +2\times 1 + 2\times 2 + 2\times 3 = 36. \notag \\ & + 3\times 1 + 3\times 2 + 3\times 3 \end{align} Sin embargo, si la cruz términos se descuida uno podría obtener \begin{equation} (1+2+3)\times(1+2+3) \ne (1^2+2^2+3^2) = 1\times 1 + 2\times 2 + 3\times 3 = 14. \end{equation} Escrito de otra manera, llegamos a la conclusión de que \begin{equation} \left(\sum_{x=1}^3x\right)^2 = \left(\sum_{x=1}^3x\right)\left(\sum_{x=1}^3x\right) \ne \sum_{x=1}^3x^2. \end{equation} Sin embargo, como se señaló en los comentarios, el $x$ en la suma (o la de la integral definida) es sólo una variable ficticia, y puede ser reemplazado con otro símbolo, como $y$: \begin{equation} \left(\sum_{x=1}^3x\right)^2 = \left(\sum_{x=1}^3x\right)\left(\sum_{y=1}^3y\right). \end{equation} La razón para el cambio de la variable ficticia es que ahora podemos decir que la suma de más de $x$ $y$ son independientes, y así podemos reorganizar las sumatorias: \begin{equation} \left(\sum_{x=1}^3x\right)^2 = \left(\sum_{x=1}^3x\right)\left(\sum_{y=1}^3y\right) = \sum_{x=1}^3\sum_{y=1}^3x\times y. \end{equation} De nuevo, la integración es sólo la suma, y por lo que el hecho mismo es cierto para las integrales. Además, no importa lo que la función dentro de la suma/integral. Por lo tanto, podemos escribir \begin{equation} \left(\int_a^b f(x)\ dx\right)^2 = \left(\int_a^b f(x)\ dx\right)\left(\int_a^b f(y)\ dy\right) = \int_a^b\int_a^b f(x)\times f(y)\ dx\ dy. \end{equation} El uso de $f(x)=e^{-x^2}$ resultados en el problema de ejemplo.

Answer 2

Debido a que cambiar la variable de integrand no cambia el valor de la integral:$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(y)dy$$the same argument holds for summation as following$$\sum_{n=a}^{b}k_n=\sum_{m=a}^{b}k_m$$also we know that$$\left(\sum_{n=a}^{b}k_n\right)^2=\left(k_a+...+k_b\right)^2=k_a^2+...+k_b^2+2k_ak_{a+1}+...+2k_{b-1}k_b$$and$$\sum_{n=a}^{b}k_n\sum_{m=a}^{b}k_m=(k_a+...+k_b)(k_a+...+k_b)$ $which by expanding the terms and rearranging them leads to$$\left(\sum_{n=a}^{b}k_n\right)^2=\sum_{n=a}^{b}k_n\sum_{m=a}^{b}k_m$ $, dado que la integral es intrínsecamente una suma, esto también puede generalizarse al operador integral.

Answer 3

Creo que la mejor manera de visualizar lo que está sucediendo de manera intuitiva, es pensar en términos de programación.

Si usted hace un programa y usted tiene dos funciones (en la programación de sentido) que no interactúan, usted puede llamar "$x$" la variable en ambas funciones. Están aislados.

Sin embargo, si una función se supone que debe manejar dos variables diferentes de forma independiente en el mismo contexto, usted no puede nombrar la misma cosa.

Formalmente y matemáticamente (y también cambiando la notación de$\int f(x)dx$$\int f$, de modo que el punto puede quedar más claro), tenemos la siguiente cadena de igualdades.

\begin{align*} \underline{\left(\int_{\mathbb{R}} x \mapsto e^{-x^2}\right)} \cdot \underline{\left(\int_{\mathbb{R}} x \mapsto e^{-x^2} \right)}&\stackrel{Linearity}=\left(\int_{\mathbb{R}} \underline{\left(\int_{\mathbb{R}} x \mapsto e^{-x^2}\right)}\left(x \mapsto e^{-x^2} \right)\right) \\ &\underset{\text{fctn mult.}}{\overset{\text{Def. of}}{=}} \int_{\mathbb{R}} x \mapsto \left(e^{-x^2} \underline{\left(\int_{\mathbb{R}} y \mapsto e^{-y^2}\right)}\right) \\ &\underset{\text{}}{\overset{\text{Linearity}}{=}} \int_{\mathbb{R}} x \mapsto \left(\int_{\mathbb{R}} y \mapsto e^{-x^2-y^2}\right) \\ &\stackrel{Fubini}{=}\int_{\mathbb{R}^2}(x,y) \mapsto e^{-x^2-y^2}. \end{align*}

Utilizando el mismo nombre de ($x$) para las variables en ambas integraciones está "bien" hasta la tercera igualdad (me lo cambiaron en la segunda igualdad en aras de la claridad, de lo contrario la tercera sería un poco místico). El uso de $x$ en lugar de $y$ en la segunda línea sería de muy mal gusto, pero no de forma explícita mal. El uso de $x$ en lugar de $y$ en el lado derecho de la primera igualdad es nervioso, pero no tanto.

De hecho, cada subrayar integral es una caja cerrada con respecto a las del resto: son números fijos, que no interactúan con el resto del entorno distinto por el hecho de que se trata de números. Es en la tercera igualdad que estamos multiplicar una constante (en relación a la interna de la función que estamos integrando) que depende de la $x$. No depende de la función dentro de la integral, sino que se está invadiendo su espacio e interactuar con ella. Para ser muy claro, llamar a la función $x \mapsto e^{-x^2}$$f$. La segunda línea es entonces $$\int_{\mathbb{R}} x \mapsto \left(e^{-x^2} \left(\int_{\mathbb{R}} f\right)\right) $$ $$=\int_{\mathbb{R}} \left( x \mapsto \int_{\mathbb{R}} (e^{-x^2}\cdot f)\right),$$ cuando multiplicamos una constante al interior de la integral.

Lo que están proponiendo es que la igualdad debe leer $$\int_{\mathbb{R}} x \mapsto \left(e^{-x^2} \left(\int_{\mathbb{R}} f\right)\right) $$ $$=\int_{\mathbb{R}} \left( x \mapsto \int_{\mathbb{R}} g\right),$$ donde $g(t)=e^{-t^2}f(t)$. Esto no tiene sentido. Esencialmente, lo que implica es que $$f \cdot\int g=\int f\cdot g,$$ lo cual no es cierto.