¿Hay una manera fácil de calcular este determinante?

Question

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a & 0 \\0 & 0 & 1 & a & 0 & a \\0 & 0 & a & 1 & 0 & a \\0 & a & 0 & 0 & 1 & 0 \\a & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end {bmatrix}

Gracias

Answer 1

Tenemos la matriz

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a & 0 \\0 & 0 & 1 & a & 0 & a \\0 & 0 & a & 1 & 0 & a \\0 & a & 0 & 0 & 1 & 0 \\a & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Elininating la $a$s por debajo de la diagonal por la adición de múltiplos de la primera, segunda y tercera línea de $A$, se obtiene el triangular superior de la matriz $A'$:

$$A'= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a & 0 \\0 & 0 & 1 & a & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1-a^2 & 0 & a-a^2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1-a^2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-a^2 \\ \end{bmatrix}$$

Desde la adición de un multiples de una fila a otra fila no altera el determinante, podemos decir que el $\det(A) = \det(A')$. Además, el determinante de una triangular superior de la matriz es el producto de las entradas de su diagonal. Por lo tanto, tenemos:

$$\det(A) = \det(A') = (1-a^2)^3$$

Alternativamente, se puede eliminar el $a$s por encima de la diagonal por la adición de los múltiplos de la cuarta, quinta y sexta fila. El determinante de una triangular inferior de la matriz puede ser obtenido de la misma manera.

Answer 2

Divide la matriz en bloques$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}$, donde

$A = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix}0&0&a\\0&a&0\\a&0&a\end{bmatrix}$,$C = \begin{bmatrix}0&0&a\\0&a&0\\a&0&0\end{bmatrix}$,$D = \begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$.

La fórmula determinante de la matriz de bloques establece que$\det \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix} = \det(A)\det(D-CA^{-1}B)$.

Trivialmente,$A = I_3$ es la matriz de identidad$3 \times 3$, así que$\det(A) = 1$. También, $A^{-1} = I_3$.

Por lo tanto,$D-CA^{-1}B = D-CB$$= \begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0&0&a\\0&a&0\\a&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&a\\0&a&0\\a&0&a\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a^2&0&a^2\\0&a^2&0\\0&0&a^2\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}1-a^2&0&a-a^2\\0&1-a^2&0\\0&0&1-a^2\end{bmatrix}$.

Como$D-CA^{-1}B$ es triangular superior, su determinante es simplemente el producto de los elementos diagonales, es decir,$\det(D-CA^{-1}B) = (1-a^2)^3$.

Por lo tanto, $\det \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix} = \det(A)\det(D-CA^{-1}B) = 1 \cdot (1-a^2)^3 = (1-a^2)^3$.