Dejar a$N\to\infty$ en una integral que contiene$\sin Nq$

Question

Estoy atrapado en un camino en un papel sobre la conductividad térmica. Hay una identidad que implica una integral que no puedo darme cuenta de cómo la han desarrollado. Aquí es:

$$ \ lim_ {N \ to \ infty} \ int_ {0} ^ {\ pi} \ frac {g_1 (q) dq} {1 + g_2 (q) \ sin (Nq)} = \ int_ {0} ^ {\ pi} \ frac {g_1 (q) dq} {[1-g_2 (q) ^ {2}] ^ {1/2}} $$

para las funciones "razonables"$g_1$,$g_2$.

Si tiene alguna idea para resolverlo o incluso la solución, estaré muy agradecido por la ayuda.

Answer 1

$$ \int_0^{\pi} \! d\theta \frac{f(\theta)}{1-g(\theta) \sin N\theta} ~=~\int_0^{\pi} \! d\theta f(\theta) \sum_{n=0}^{\infty} g(\theta)^n \sin^n N\theta$$ $$ ~\longrightarrow~\int_0^{\pi} \! d\theta f(\theta) \sum_{p=0}^{\infty} \left(\begin{array}{c} 2p \\ p \end{array}\right) \left(\frac{g(\theta)}{2}\right)^{2} ~=~\int_0^{\pi} \! d\theta \frac{f(\theta)}{\sqrt{1-g(\theta)^{2}}}\quad\text{para}\quad N\to \infty,$$

porque (entre otras cosas) de Riemann-Lebesgue Lema. Utilizamos el hecho de que el $N$independiente de medio término en la expansión de la sinusoidal en términos de exponenciales

$$\sin^n\theta~=~\left(\frac{ie^{- \theta}-ie^{\theta}}{2}\right)^n ~=~\frac{i^ne^{-inN\theta}+\ldots +(-i)^ne^{inN\theta}}{2^n}$$

es

$$0\qquad\text{for}\quad n\text{ odd},$$

y

$$\frac{1}{2^{n}}\left(\begin{array}{c} n \\ n/2 \end{array}\right) ~=~\frac{(1/2)_p}{p!} ~=~\left(\begin{array}{c} p-1/2 \\ p \end{array}\right) ~=~ (-1)^p\left(\begin{array}{c} -1/2 \\ p \end{array}\right)$$ $$\qquad\text{for}\quad n=2p\text{ even},$$

por una combinatoria argumento del teorema del binomio. Por último, utilizamos el

$$ \frac{1}{(1-x)^s}~=~\sum_{p=0}^{\infty} \frac{(s)_px^p}{p!},$$

donde $(s)_p=\frac{\Gamma(s+p)}{\Gamma(s)}$ es el símbolo de Pochhammer, cf. Abramowitz y Stegun, eq. (6.1.22un), pág. 256.

Answer 2

Como $N$ se hace grande, la condición sine cambia muy rápidamente, por lo que el $g(q)$ es esencialmente constante. Así que queremos saber el valor promedio de $1/(1+a\sin(Nq))$ $Nq$ pasa a través de un ciclo de $2\pi$, e $g(q)$ permanece aproximadamente constante en el valor de $a$.

Deje $Nq=x$. Durante la siguiente, hacer la sustitución $z=e^{ix}$. Yo uso $\cos x$ en lugar de $\sin x$ porque hace que el cálculo sea un poco más fácil.

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+\cos x}\\ =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{2dx}{2+a(e^{ix}+e^{-ix})}\\ =\frac{1}{i\pi}\int_{|z|=1}\frac{dz}{2z+az^2+a}\\ =\frac{1}{ia\pi}\int_{|z|=1}\frac{dz}{(z+1/a)^2+1-(1/a)^2} $$

Las dos raíces de la ecuación cuadrática que el producto sea igual a 1, por lo que uno se encuentra dentro del círculo unidad y el otro fuera. Los residuos en el interior del círculo es $2\pi i/(2\sqrt{1/a^2-1})$, y la respuesta final es $1/\sqrt{1-a^2}$.