$(Y_n)$ es una secuencia de variables aleatorias independientes con $$P(Y_n = 2^n-1)= 2^{-n},\; P(Y_n = -1) = 1 - 2^{-n}$$ Estoy investigando sus sumas parciales $$X_n = \sum ^n_{k=1} Y_k$$ Ahora, debo comprobar que la secuencia $(X_n)$ no cumple con los supuestos de los teoremas de convergencia de martingala al mostrar que $X_n \stackrel {a.s.} \to - \infty $
Ahora, comprobar que esto es realmente una martingala es simple. $E[Y_n]=(2^n-1)2^{-n} - (1-2^{-n}) = 1-2^{-n}-1+2^{-n}=0$ y gracias a eso la propiedad martingala está satisfecha (no creo que mostrar el trabajo ayude a la pregunta)
Cuando se trata de probar que $X_n \stackrel {a.s.} \to - \infty $ sin embargo, ya hace tiempo que no tengo éxito. Apreciaría una pista en la dirección correcta (ya que me gustaría encontrar la solución yo mismo, si es posible).
