Los círculos son atraídos por el vértice de una parábola $y^2 = 4ax$ a de corte de la parábola ortogonalmente en el otro punto. Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos.
Lo que yo hice:
La tangente sin duda debe ser el diámetro del círculo. También, la línea a través del vértice perpendicular a la línea que une el vértice con el punto sobre la parábola debe intersectar el círculo en el otro extremo del diámetro, es decir, donde la tangente cumple con el círculo de nuevo. El centro del círculo debe ser su punto medioAsí que, puedo tomar una paramétrico punto de $P(at^2, 2at)$ sobre la parábola. La ecuación de la recta perpendicular a $VP$ pasando por $V$ es $2y = -tx$. Cumple con la tangente $ty = x + at^2$ a $G$ que es el otro diametral final. Las coordenadas de $G$ se $\Large(\frac{-2at^2}{t^2+2}, \frac{at^3}{t^2+2})$.Ahora el punto medio de la $GP$ es el centro de la $L$ que viene a ser, $$\large x = \frac{at^4}{2(t^2+2)}$$ $$\large y = \frac{3at^3+4at}{2(t^2+2)}$$ Ahora, yo no soy capaz de eliminar $t$ a partir de estas ecuaciones. ¿Cómo debo proceder?
Nota: Este problema es de SL Loney coordinar la geometría que se imprimió por primera vez una de hace 100 años. Por lo tanto, hay sin duda debe ser una solución más corto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Se nos da \begin{gather} \tag{1}\label{eq:1} x = \frac{at^4}{2(t^2+2)}, \\ \tag{2}\label{eq:2} y = \frac{3at^3+4at}{2(t^2+2)}. \end{reunir} La combinación de \eqref{eq:1} y \eqref{eq:2}, $$ t\frac{y}{a} - \frac{x}{a} = \frac{2t^4 + 4t^2}{2(t^2+2)} = t^2, $$ de dónde \begin{equation} \tag{3}\label{eq:3} \left(t^2 + \frac{x}{a}\right)^2 = t^2\frac{y^2}{a^2}. \end{equation} La reescritura \eqref{eq:1}, $$ t^4 - 2\frac{x}{a}t^2 - 4\frac{x}{a} = 0, $$ de dónde \begin{equation} \tag{4}\label{eq:4} \left(t^2 - \frac{x}{a}\right)^2 = \frac{x^2}{a^2} + 4\frac{x}{a}. \end{equation} De \eqref{eq:3} y \eqref{eq:4}, $$ 4t^2\frac{x}{un} = t^2\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} - 4\frac{x}{un}, $$ de dónde \begin{equation} \tag{5}\label{eq:5} t^2\left(\frac{y^2}{a^2} - 4\frac{x}{a}\right) = \frac{x^2}{a^2} + 4\frac{x}{a}. \end{equation}
En retrospectiva, esta deducción podría haber sido acortado, pero he preferido mantenerlo en una secuencia que se produjo bastante natural. De todos modos, ahora podemos sustituir \eqref{eq:5} \eqref{eq:4}. Cómo hacerlo, mientras que lo que menos lío, es discutible. Decidí que era hora de deshacerse de los denominadores, así $$ (a^2 - x)^2 = x(x + 4a) = t^2(y^2 - 4ax), $$ conduce a este manejable lío, \begin{align*} 4ax(y^2 - 4ax)^2 & = a^2[t^2(y^2 - 4ax)]^2 - 2ax(y^2 - 4ax)[t^2(y^2 - 4ax)] \\ & = a^2[x(x + 4a)]^2 - 2ax(y^2 - 4ax)[x(x + 4a)], \end{align*} de dónde $$ \boxed{4(y^2 - 4ax)^2 = x(x + 4a)[a(x + 4) - 2(y^2 - 4ax)]} $$ La recopilación de todos los términos que contengan $y$ en el lado izquierdo, $$ 4y^2(y^2 - 8ax) + 2x(x + 4a)y^2 = ax(x + 4a)[x + 4a + 8x] - 4(4ax)^2. $$ Simplificando, \begin{align*} 2y^2(2y^2 - 16ax + x^2 + 4ax) & = ax[(x + 4a)(9x + 4a) - 64ax] \\ & = ax(9x^2 - 24ax + 16a^2), \end{align*} y por último, $$ \boxed{2y^2(2y^2 + x^2 - 12ax) = ax(3x - 4)^2} $$
Vamos a encontrar la pendiente de la tangente:
$$y^2=4ax$$
$$2yy'=4a$$
$$y'=\frac{2a}y$$
Distancias $OL$ e $LP$ son iguales:
$$x_L^2+y_L^2=(x_P-x_L)^2+(y_P-y_L)^2\tag{1}$$
El punto de $P$ se encuentra en la parábola:
$$y_P^2=4ax_P\tag{2}$$
La línea de $LP$ es tangente a la parábola:
$$\frac{y_P-y_L}{x_P-x_L}=y'_P=\frac{2a}{y_P}\tag{3}$$
Introducir las siguientes sustituciones:
$$x_P-x_L=u\tag{4}$$
$$y_p-y_L=v\tag{5}$$
Reemplazar (4) y (5) en (2) y (3):
$$(v+y_L)^2=4a(u+x_L)\tag{6}$$
$$\frac{v}{u}=\frac{2a}{v+y_L}\tag{7}$$
A partir de (6) y (7) se obtiene:
$$v^2=y_L^2-4ax_L\tag{8}$$
$$u=\frac{1}{2a}v(v+y_L)\tag{9}$$
Reorganizar (1):
$$x_L^2+y_L^2=u^2+v^2=\frac{1}{4a^2}v^2(v+y_L)^2+v^2$$
$$4a^2\left(\frac{x_L^2+y_L^2}{v^2}-1\right)=(v+y_L)^2$$
$$\frac{4a^2}{v^2}(x_L^2+y_L^2-v^2)-v^2-y_L^2=2vy_L$$
$$\left(\frac{4a^2}{v^2}(x_L^2+y_L^2-v^2)-v^2-y_L^2\right)^2=4v^2y_L^2$$
Ahora reemplace (8) a (10) y el resultado final es el lugar geométrico de los puntos $L(x_L,y_L)$.
Esperemos que no he cometido algún error a lo largo del camino. Incluso si lo hiciera, creo que lo he demostrado de la manera correcta.
Simplificar ligeramente sustituyendo $x = au/2$ e $y= av/2$. A continuación, su parametrización de los rendimientos $$u(t^2+2)=t^4 \qquad v(t^2+2)=t(3t^2+4) \tag{1}$$ El cuadrado de la segunda ecuación nos da un sistema en el que incluso los poderes de $t$, por lo definen $s := t^2$, dando $$u(s+2) = s^2 \qquad v^2(s+2)^2=s(3s+4)^2 \tag{2}$$ Podemos utilizar la $u$ ecuación de cortar hacia abajo poderes de $s$ en la $v$ ecuación. Va a ser tedioso, pero totalmente mecánico. Al menos, podemos mirar hacia adelante con el hecho de que el resultado final va a ser lineal en $s$.
$$\begin{align} v^2(\;s^2+4s+4\;)&=s(\;9s^2+24s+16\;) \tag{3}\\ v^2(\;u(s+2)+4s+4\;)&=s(\;9\cdot u(s+2)+24s+16\;) \tag{4}\\ v^2(\;s(u+4)+2(u+2)\;)&=3s^2(3u+8)+2s(9u+8) \tag{5}\\ v^2(\;s(u+4)+2(u+2)\;)&=3(3u+8)\cdot u(s+2)+2s(9u+8) \tag{6}\\ s(\;v^2(u+4)-9u^2-42u-16\;) &= 6u(3u+8)-2v^2(u+2) \tag{7} \end{align}$$
A partir de aquí,- - - y por "nosotros", me refiero a "el lector"--- se puede solucionar $(7)$ para $s$ y sustituir de nuevo en el $u$ ecuación en $(2)$. Una vez que el polvo se asienta, "nos" se $u$-$v$ equivalente de la meta de relación:
$$v^2 (\;2v^2+u^2-24 u\;) = u (\;3u-8\;)^2 \tag{$\estrella de$}$$
