Determinar los valores exactos utilizando la identidad de suma y diferencia de ángulos (trigonometría)

Question

Bien, acabamos de aprender las identidades básicas de suma y diferencia de ángulos:

$$\begin{array}{l}\cos \left( {A \pm B} \right) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B\\\sin \left( {A \pm B} \right) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B\\\tan \left( {A \pm B} \right) = \frac{{\tan A \pm \tan B}}{{1 \mp \tan A\tan B}}\end{array} $$

La pregunta que me han hecho es determinar el valor exacto de $\tan {15^0}$ grados. Así que asumo que usas la identidad tan, sub en

$$\tan \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right) = \frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan 30}} $$

Después de simplificarlo al máximo he acabado con:

$$\frac{{\left( {3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)} \right)}}{{\left( {3\left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right)}} $$

Sin embargo, la respuesta correcta es: ${2 - \sqrt 3 }$

No estoy seguro de si hemos hecho algo mal o estamos completamente equivocados, pero podría alguien explicar (de la forma más sencilla posible) cómo conseguir esta respuesta.

Answer 1

No has hecho nada malo, simplemente no has terminado todavía - es una buena práctica no dejar números irracionales ( $\sqrt3$ ) en el denominador.

$$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt3}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}\cdot\frac{3-\sqrt3}{3-\sqrt3}=\frac{9+3-6\sqrt3}{9-3}=2-\sqrt3$$

Answer 2

Puedes ir más allá: \begin{align}\frac{3(3-\sqrt3)}{3(3+\sqrt3)}&=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}\\\\ &=\frac{9-6\sqrt3+3}{3^2-3}\\\\ &=\frac{12-6\sqrt3}6\\\\ &=2-\sqrt3\end{align}

Answer 3

Aquí tienes,
$$\begin{align}\tan \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right) &= \frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan {{30}^0}}}\\\\ &= \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + \left( 1 \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}}\\\\ &= \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}}\\ \\ &= \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} \times \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}\\\\ &= \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 1}}\\\\ &= \frac{{3 + 1 - 2\sqrt 3 }}{{3 - 1}}\\\\ &= \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2}\\\\ &= 2 - \sqrt 3 \end{align} $$