Cociente expreso de grupo abeliano libre como suma directa de grupos cíclicos

Question

Este es el problema:

Deje que$G$ sea el cociente del grupo abeliano libre con$\mathbb{Z}$ - base$x_1, x_2, x_3$ por el subgrupo$H = \langle x_1 + 3x_2, x_1 + 4x_2 + x_3, 2x_1 + 5x_2 + x_3\rangle$. Exprese$G/H$ como una suma directa de grupos cíclicos.

Realmente apreciaría un ejemplo utilizando un conjunto diferente de relaciones de lo que es el procedimiento para hacer esto.

Answer 1

Como lo señaló i707107, el problema es esencialmente igual al encontrar la forma normal de Smith de la matriz$3\times 3$ que está definida por las relaciones. Uno puede encontrar los detalles del algoritmo para encontrar la forma normal de Smith en Wikipedia como se vinculó anteriormente. Solo hago el cálculo y encuentro que el grupo es isomorfo a$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.