¿De cuántas maneras se puede llegar a$1$ desde$n$ haciendo$/13$ o$-7$?

Question

Cómo muchos caminos para llegar a $1$ $n$ haciendo $/13$ o $-7$ ?

(es decir, donde $n$ es el valor inicial (entero positivo) y $/13$ significa que la división por $13$ $-7$ significa restar 7)?

Deje que el número de maneras de ser $f(n)$.

Ejemplo de $n = 20$, $f(n) = 1$ desde $13$ no es un divisor de a $20$ , comenzamos $20-7=13$,$13/13 = 1$.

(edit) : Vamos a $g(n)$ el número de pasos necesarios.(edit)

Podemos demostrar fácilmente que $f(13n) = f(n) + f(13n-7).$ O si $n$ no es un múltiplo de a $13$ $f(n) = f(n-7).$

(edit): yo creo que el $g(13n) = g(n) + g(13n-7) + 2.$ O si $n$ no es un múltiplo de a$13$$g(n) = g(n-7) + 1.$, Aunque esto puede requerir valores negativos.

( gracias a Ross por señalar el error )(edit)

Estas ecuaciones look sencillo y familiar , algo así como las ecuaciones funcionales para logaritms , las funciones de partición , la secuencia de fibonacci y aún collatz o como un funcional de la ecuación que he publicado aquí antes. Considero modular aritmetic como mod $13^2$ y tal, pero sin éxito hasta la fecha.

Cómo resolver esto ? Tiene una buena generación de la función ? Hay un nombre para la generalización de este problema ? Porque parece muy típico de la teoría de números. Es esta relacionada con q-análogos ?

Answer 1

Algunas sugerencias para ayudarle en su camino:

• Usted debe tener $$f(13n) = f(n) + f(13n-7) $$ and when $n$ is not a multiple of $13$ then $$f(n) = f(n-7)$$ comenzando en $f(1)=1$$f(n)=0$$n \lt 1$.

• Desde $13 \equiv -1 \pmod 7$$13^2\equiv 1 \pmod 7$, usted tiene el resultado de que $f(n)=0$ si $n \equiv \pm 1 \pmod 7$.

• La primera vez que ha $f(n)=2$ es al $n=104 = 13\times(7+1)$.

• Si hay un valor concreto para $f(7n+1) \gt 1$ algunos $n$, entonces no se $13$ tales $n$ dando ese valor. Del mismo modo, si hay un valor de $f(7n-1) \gt 1$ algunos $n$, entonces no se $13$ tales $n$ dando ese valor.

• No es $n$ que $f(n)=25$.

Answer 2

Más pensamientos para ayudar a: Como $13 \equiv -1 \pmod 7$, sólo se puede llegar a $1$ para los números que se $\equiv \pm 1 \pmod 7$. Usted puede manejar $1$$13$, de modo que usted puede manejar todas las $k \equiv \pm 1 \pmod 7 \in \mathbb N $ con la excepción de $6$.

También debido a $13 \equiv -1 \pmod 7$$k \equiv -1 \pmod 7$, usted tiene que dividir un número impar de veces. Para$k \equiv 1 \pmod 7$, usted tiene que dividir un número par de veces.

A partir de su número de partida, usted tiene que restar $7$'s hasta llegar a un múltiplo de $13$. Entonces, si usted restar $7$, usted tiene que hacer $13$ de ellos, restando $91$. En un sentido, las operaciones de transporte, como puede restar $91$, luego se divide por $13$ o dividir por $13$ y luego restar $7$ para obtener el mismo lugar. Los números de la forma $13+91k$ ha $k+1$ rutas a $1$ (siempre y cuando tengan menos de $13^3)$.