Forma algebraica cerrada de$\cos(\frac{\pi}{7})$

Question

Todos sabemos que$\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt 3}{2}$,$\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt 2}{2}$ y$\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$. También se puede probar que$\cos(\frac{\pi}{5})=\frac{\sqrt 5+1}{4}$. Pero parece que$\cos(\frac{\pi}{7})$ no se puede poner en una expresión algebraica de forma cerrada. ¿Hay alguna prueba de tal reclamo? Siento que esto tiene que ver con el teorema de Abel-Ruffini .

Lo mismo para$\cos(\frac{\pi}{8})$ y$\cos(\frac{\pi}{9})$. Pero $\cos(\frac{\pi}{10})=\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$.

Answer 1

Para cualquier$n\geq 3$,$\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ es un número algebraico superior a$\mathbb{Q}$ con grado$\frac{\varphi(n)}{2}$, ya que su polinomio mínimo se puede calcular de$\Phi_n(x)$ de una manera directa. Nuestro caso está dado por$n=14$, donde el polinomio mínimo de$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$ viene dado por$q(x)=8x^3-4x^2-4x+1$. Al dejar$\omega=\frac{-1+\sqrt{-27}}{2}$, a través de la fórmula cúbica obtenemos

$$ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1}{6}\left(1+\frac{7^{2/3}}{\omega^{1/3}}+7^{1/3}\omega^{1/3}\right). $ $ Puede ser interesante notar que el LHS está muy cerca de$\frac{9}{10}$.

Answer 2

Definir de Euler $\phi$ función de: $$\phi(1) = 1\\ \phi(p^e) = (p-1)\cdot p^{e-1},~ \mathrm{p~ prime} \\ \phi(m\cdot n) = \phi(m)\cdot \phi(n)$$ Entonces Teorema (Lehmer, Una Nota sobre Trigonométricas de Números Algebraicos)

El grado de $\cos(\frac{2\pi k}{n}),~ n > 3,~ \gcd(k,n)=1$$\frac{\phi(n)}{2}$.

En este caso,$n=7\cdot 2= 14$$k=1$. A continuación, el grado de $\cos(\frac{\pi}{7})$$\frac{\phi(2\cdot 7)}{2} = \frac{1\cdot 6}{2} = 3$. Puesto que hay un cúbicos fórmula, entonces, de hecho, este valor se puede encontrar. Pero como se mencionó en los comentarios se requiere raíces de números negativos. Así que continuamos.

Como usted sabe, no todos los números algebraicos puede ser finitely se expresa en términos de las operaciones aritméticas y $n$th raíces, de hecho hay una manera de saber si el coseno de un ángulo tiene una representación.

Teorema de

Los números de $\cos(\theta)$ $\sin(\theta)$ puede ser escrito utilizando solamente los números racionales, la adición, la substracción, la multiplicación, la división y las raíces de los positivos números si y sólo si $\phi(n)$ es una potencia de 2.

Subrayado en el original.

La prueba se describe en "Algo Más de Gobernadores Necesita Saber acerca de la Trigonometría" por Garibaldi. La extensión para incluir negativo de la raíz-de tomar los va a conducir, eventualmente, a la de Gauss "disquisitiones Arithmeticae" y construible números. El resultado es que el Teorema 2 se extiende a ser "... es una potencia de dos y un producto de distintos números primos de Fermat", con el entendimiento de que el vacío del producto es $1$.