Conjetura sobre los números primos

Question

$$\forall k\in\mathbb{N},k\ge1,\exists p:k^3\lt p\lt (k+1)^3$$ con $p$ número primo. En otras palabras, ¿es posible demostrar que para cada $k\gt1$ con $k$ número entero existe un número primo entre $k^3$ y $(k+1)^3$ ? La conjetura de Legendre afirma que existe un número primo entre $k^2$ y $(k+1)^2$ pero no está resuelto. Gracias.

Answer 1

Sí, se ha demostrado recientemente que hay al menos un primo entre cada dos cubos consecutivos $x^{3}$ y $(x+1)^{3}$ si $\log (\log (x))≥15$ , véase el documento de Cheng de $2013$ . Dudek ha mostrado el resultado para todos los $x\ge \exp(\exp(33.217)$ y discute algunas cuestiones en el documento de Cheng. Para el artículo de Dudek, véase aquí .

Edición: Como se ha señalado en los comentarios, esto resuelve la cuestión para casi todos $x$ pero no para todos.