Express $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{\prod_{k=1}^m (n+a_k)} $ como una suma finita.

Question

Esto es una generalización (y respuesta a) Escritura $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(r_1+k+1)(r_2+k+1)(r_3+k+1)}$ como una función racional de $r_1,r_2$ y $r_3$ .

Dejemos que $S =\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{\prod_{k=1}^m (n+a_k)} $ donde $m \ge 2$ y el $a_k$ son enteros positivos.

Encuentre una expresión para $S$ que sólo implican sumas finitas.

Me sale $S =-\sum_{k=1}^mc_kH_{a_k} $ donde $c_k= \dfrac1{\prod_{j=1, j\ne k}^m (a_j-a_k)} $ y $H_n = \sum_{j=1}^n \dfrac1{j}$ .

Es interesante que una aproximación bastante buena a $S$ es $-\sum_{k=1}^mc_k\ln(a_k) $ .

Answer 1

Siempre que $\text{Re}(a),\text{Re}(b)>0$ tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b},\tag{1} $$ por lo tanto, por descomposición parcial de la fracción, suponiendo $\text{Re}(c)>0$ ,

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)}&=&\frac{1}{c-a}\left[\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b}-\frac{\psi(b)-\psi(c)}{b-c}\right]\\&=&\frac{(c-b)\psi(a)+(a-c)\psi(b)+(a-b)\psi(c)}{(a-c)(a-b)(b-c)}\end{eqnarray*}\tag{2} $$ con $\psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=H_{z-1}-\gamma$ .
Si hay más variables implicadas, el enfoque es el mismo.