Mostrar que$k^n$ es denso en$\mathbb{A}_k^n$

Question

Deje $k$ ser un infinito campo, no es algebraicamente cerrado. Deje $\operatorname{Specm} k[x_1,\cdots,x_n]$ el conjunto de los máximos ideales de la $k[x_1,\cdots,x_n]$ y definir una topología en $\operatorname{Specm} k[x_1,\cdots,x_n]$ en el que los conjuntos cerrados son de la forma $Z(E) = \left\{m \in \operatorname{Specm} k[x_1,\cdots,x_n]: E \subseteq m \right\}$ donde $E$ es un subconjunto de a $k[x_1,\cdots,x_n]$. Ahora, vamos a $X$ ser el subconjunto de $\operatorname{Specm} k[x_1,\cdots,x_n]$, que consta de los máximos ideales de la forma$(x_1-c_1,\cdots,x_n-c_n)$$c_i \in k$. Necesito una pista hacia mostrando que $X$ es denso en $\operatorname{Specm} k[x_1,\cdots,x_n]$. He probado esto para el caso en que $k=\mathbb{R}$$n=1$, pero he hecho decisivo el hecho de que $\mathbb{R}[x]$ es un director ideal de dominio. El caso de $\mathbb{R}[x_1,x_2]$ parece ser fundamentalmente diferente.

PS: por Favor, sólo una sugerencia, no la solución. Gracias.

Answer 1

Aquí es una prueba que se me ocurrió: Vamos a $m \in \operatorname{Specm}k[x_1,\cdots,x_n]$ y deje $U_m$ ser un barrio de $m$. Entonces, por definición, $U_m=\left\{m' \in \operatorname{Specm}k[x_1,\cdots,x_n] : m' \nsupseteq \alpha \right\}$ por algún ideal $\alpha$. Desde $k[x_1,\cdots,x_n]$ es un Noetherian anillo, $\alpha=(f_1,\cdots,f_k) , \, f_i \in k[x_1,\cdots,x_n]$. Continuar por la contradicción, es decir, supongamos que para cualquier $r_1,r_2 \in k$ tenemos que $(x-r_1,x-r_2) \supseteq \alpha$. A continuación,$f_i(r_1,r_2)=0, \, \forall r_1,r_2 \in k$. A continuación, $f_i$ es cero en el cero del conjunto de la cero ideal $(0)$ y por Hilbert Nullestellensatz $f_i^r \in (0)$ para algún entero positivo $r$. Por lo tanto $f_i^r=0$ y desde $k[x_1,\cdots,x_n]$ es una parte integral de dominio, $f_i=0$. Por lo tanto $\alpha=0$, lo que implica que $U_m=\emptyset$. Esto es una contradicción, ya que debemos tener ese $m \in U_m$. Por lo tanto, no existe $r_1,r_2 \in k$ tal que $(x-r_1,x-r_2) \in U_m$.