Demostrar que .

Question

Demostrar que $10|n+3n^3+7n^7+9n^9$ por cada $n\in \mathbb N$

Sólo lo que yo veo que 10=5*2 y el número está libre de los números, y si me muestran que la $5|n+3n^3+7n^7+9n^9$ e $2|n+3n^3+7n37+9n^9$ que puedo demostrar, desde el 5 y el 2 es libre de números que se pueden utilizar de Fermat poco teorema de tales que $5|n^5-n$ e $2|n^2-n$ pero no puedo ver que de alguna manera me ayuda, ¿tienes alguna idea?

Answer 1

Indica $f(n) = n + 3n^3 + 7n^7 + 9n^9$ . Los términos en $f(n)$ son todos impares o todos pares, por lo que $f(n)$ es par.

Por el pequeño teorema de Fermat, $9n^9 \equiv 4n \bmod 5$ y $7n^7 \equiv 2n^3 \bmod 5$ . Por lo tanto, $5 | f(n)$ .

Combinando estos resultados, $10 | f(n)$ .

Answer 2

$ \begin{align} \bmod 10\!:\ f_n & = \ n+9n^9 +\ 3n^3\,+ 7n^7\\ &\equiv n(1\!-\!n^8) + 3n^3(1\!-\!n^4)\ \ \ {\rm by}\ \ \ 9\equiv -1,\,\ 7\equiv -3\\ &\equiv \color{#c00}{n(1\!-\!n^4)}\,g_n \end {align} $

Tenga en cuenta que $\,2,5\mid \color{#c00}{n\,-\,n^5}\ $ por Fermat.

O, equivalentemente, $\,\color{#c00}{n^5\equiv n}\,\Rightarrow\, n^7\equiv n^3,\, n^9\equiv n\ $ para $\,f_n\equiv (1\!+\!9)n+(3\!+\!7)n^3\equiv 0$

Answer 3

Método 1:podemos tratar de factoraje, pero ... no quiero.

Método 2: el teorema de Euler. Si $\gcd(n, 10) = 1$ entonces $n^{\phi(10)}=n^4 \equiv 1\pmod {10}$ Lo $n + 3n^3 + 7n^7 + 9n^9 \equiv n + 3n^3 + 7n^3 + 9n = 10n + 10n^3 \equiv 0 \mod 10$.

Pero si $\gcd(n,10) \ne 1$???

Bien teorema del resto chino.

$\mod 2$ tenemos $0^k \equiv 0$ e $1^k \equiv 1$ lo $n^k \equiv n$ así

$$n + 3n^3 + 7n^7 + 9n^9 \equiv n + n^3 + n^7 + n^9 \pmod 2$$ and $a^k \equiv \pmod 2$ so $$n + n^3 + n^7 + n^9 \equiv 4n \equiv 0 \pmod 2$$

$\mod 5$ tenemos $\gcd(n,5)$ medio $n^{5-1} \equiv 1 \pmod {10}$.

Si $\gcd(n,5)= 1$ entonces $$n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9 \equiv n + 3n^3 + 2n^3 + 4n \mod 5\\ \equiv 5n +5n^3 \equiv 0 \mod 5$$ But if $\gcd(n,5) \ne 1$ the $\gcd(n,5) = 5$ so $n + 3n^3 + 7n^7 + 9n^9 \equiv 0 \mod 5$.

Por lo $2|n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9$ e $5|n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9$ lo $10|n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9$. Siempre.

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La verdad es que desde $\phi(10) = \phi(5) = 4$ obtenemos $n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9 \equiv 10n + 10n^3$ cuando $\gcd(n, 5) \ne 0$. así que el único caso a considerar es si $\gcd(n, 5) = 5$.

es decir, si $5|n$.

Bueno, si $5|n$ entonces obviamente $5| n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9$ y solo queda mostrar $n+3n^3 + 7n^7 + 9n^9$ es incluso (cuando $5|n$).

Bueno, ... eso es fácil. Si $n$ es incluso entonces es la suma de las cuatro condiciones. Si $n$ es impar es la suma de $4$ términos raros.

Answer 4

Sugerencia: $$n+3n^3+7n^7+9n^9\equiv n+3n^3-3n^7-n^9\equiv -(n^4-1)(n)(n^4+3n^2+1)$ $ mod 10, así que pruebe $$2|n(n^4-1)$ $ y $$5|n^4-1$ $ cuando $n\neq5k$ y $5|n$ cuando $n=5k$ .

Answer 5

Permitir que $$p(n)=n+3n^3+7n^7+9n^9$$ and let $ r$ be a remanider when $ n$ divided by $ 5$. Then we have $ 5 \ mid nr$ and $$n-r\mid p(n)-p(r)$ $

Entonces $$5\mid p(n) \iff 5\mid p(o)$ $

Así que tienes que verificar si $p(o)$ es divisible entre $5$ , para $o\in\{0,1,2,3,4\}$ y eso no debería ser difícil.

El mismo procedimiento se hace para $2$ .