No ha sido ya algún debate sobre este tema. Sin embargo, mi pregunta es acerca de una solución específica para este problema y para el beneficio de los lectores, creo que es mejor añadir un poco de contexto (aunque significa la repetición de algunas de las cosas mencionadas en la pregunta vinculada).
En lo que sigue, $f$ es una función de tipo de $f:[a, b]\to\mathbb{R}$ $f$ está acotada. Una partición de $P$ $[a, b]$ es un conjunto de tipo $$P = \{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$$ where $$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = b$$ The norm $||P||$ of partition $P$ is defined by $||P|| = \max_{i = 1}^{n}(x_{i} - x_{i - 1})$. We define the following sums for $f$ over $P$ \begin{align} C(f, P) &= \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i - 1})(x_{i} - x_{i - 1})\notag\\ S(f, P) &= \sum_{i = 1}^{n}f(t_{i})(x_{i} - x_{i - 1})\notag\\ U(f, P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(x_{i} - x_{i - 1})\notag\\ L(f, P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(x_{i} - x_{i - 1})\notag \end{align} donde $t_{i}$ son puntos arbitrarios en $[x_{i - 1}, x_{i}]$ y $$M_{i} = \sup\,\{f(x)\mid x\in [x_{i - 1}, x_{i}]\},\,m_{i} = \inf\,\{f(x)\mid x\in [x_{i - 1}, x_{i}]\}$$ The sum $C(f, P)$ is called (left) Cauchy sum for $f$ over $P$. The Riemann sum $S(f, P)$ depends on choice of tags $t_{i}$ but this dependence in not shown in the notation and should be evident from the context. And finally $U(f, P), L(f, P)$ are upper and lower Darboux sums for $f$ over $P$.
De Cauchy de la Integral: La función de $f$ se dice ser dicho para ser de Cauchy integrable sobre $[a, b] $ con la integral de Cauchy $I$ si para cada a $\epsilon >0$ hay un número $\delta > 0$ tal que $|C(f, P) - I| < \epsilon$ siempre $P$ es una partición de a$[a, b]$$||P|| < \delta$.
Una definición similar está disponible para la integral de Riemann si $C(f, P)$ es reemplazado por $S(f, P)$. Estas dos nociones son equivalentes y desde que cada suma de Cauchy es también una suma de Riemann, la inferencia a partir de Riemann a la de Cauchy es trivial. Lo contrario parece ser difícil y quizás no lo suficientemente popular como para ser visto en los libros de texto.
Usuario Tony Piccolo en su respuesta da tres referencias para la prueba de que Cauchy integrabilidad implica integrabilidad de Riemann.
Es la segunda prueba de la respuesta que quiero discutir aquí (como en las otras dos pruebas de uso es algo complicado ideas y algunas no muy obvio trucos). Esta es una sugerencia de que
Dado cualquier partición $P$ $[a, b]$ y un número de $\epsilon > 0$ no es una partición de a $Q\supseteq P$ $[a, b]$ tal que $C(f, Q) > U(f, P) - \epsilon$.
El uso de la contraparte de la ecuación de $C(f, P) < L(f, P) + \epsilon$, se puede mostrar fácilmente que la diferencia de $U(f, P) - L(f, P)$ puede ser hecho pequeños si sumas $C(f, P)$ tiende a un límite finito y por lo tanto obtenemos la integrabilidad de Riemann (a través de Darboux integrabilidad, también este vínculo entre Darboux y la integral de Riemann es muy popular y está disponible en los buenos libros de texto).
Aquí están mis preguntas:
Es fácil probar que podemos elegir las etiquetas que $t_{i}$ tal que $S(f, P) > U(f, P) - \epsilon$. Sólo tenemos que elegir las etiquetas, de modo que $f(t_{i})$ es lo suficientemente cerca de a $M_{i}$. Mi corazonada es que si sumamos los tags $t_{i}$ $P$tenemos una partición de $Q\supseteq P$ y que es necesaria la partición que garantiza $C(f, Q) > U(f, P) - k\epsilon$ donde $k$ es algunos fijos constante positiva. Es esto correcto? Y si es así ¿cómo podemos demostrar esto?
Otra duda es si la relación entre el $C(f, P)$ $U(f, P)$ es válido en general? O es sólo para Cauchy integrable funciones? Mi conjetura es que se sostiene sólo por Cauchy funciones integrables. Es esto correcto?
