¿Por qué sigo recibiendo esta solución incorrecta cuando intento encontrar todas las soluciones reales para$\sqrt{2x-3}\ +x=3$?

Question

El problema es encontrar todas las soluciones reales (si existe) por $\sqrt{2x-3}\ +x=3$.

Ahora, mi libro de texto dice que la respuesta es {2}, sin embargo, sigo recibiendo {2, 6}. He probado con varios enfoques, pero aquí es uno de ellos:

Me deshice de la raíz al cuadrado ambos lados, $$\sqrt{2x-3}^2=(3-x)^2$$ $$0=12-8x+x^2$$ Utilizando el método de CA, tengo $$(-x^2+6x)(2x-12)=0$$ $$-x(x-6)2(x-6)=0$$ $$(-x+2)(x-6)=0$$ por lo tanto, $$x=2, \ x=6$$

Por supuesto, yo siempre puede comprobar mis soluciones y me gustaría reconocer inmediatamente la 6 no funciona. Pero eso es un poco demasiado aburrido para mi gusto. ¿Alguien puede explicar de dónde me salió mal con mi enfoque?

Answer 1

Porque el cuadrado ambos lados de una ecuación siempre se presenta el "riesgo" de una solución extraña.

Como un ejemplo muy simple, observe las siguientes dos ecuaciones:

$$x = \sqrt 4 \iff x = +2$$

$$x^2 = 4 \iff \vert x\vert = 2 \iff x = \pm 2$$

La primera ecuación tiene una única solución: $+\sqrt 4$. La segunda, sin embargo, tiene dos soluciones: $\pm\sqrt 4$. Y se obtiene la segunda ecuación por el cuadrado de la primera.

Exactamente la misma idea se aplica a su ejemplo. Usted tiene

$$\sqrt{2x-3} = 3-x$$

que sólo se refiere a la no-negativo de la raíz cuadrada de $2x-3$. Por lo tanto, si una solución hace que el LHS negativo, es extraño. Pero, al cuadrado ambos lados, en realidad se está resolviendo

$$0 = 12-8x+x^2 \iff \color{blue}{\pm}\sqrt{2x-3} = 3-x$$

que tiene un $\pm$ signo y por lo tanto no es la misma ecuación. Ahora, para ser precisos, habría que añadir la condición de que el lado izquierdo debe ser no negativo:

$$2x-3 = 9-6x+x^2; \quad \color{blue}{x \leq 3}$$

$$0 = 12-8x+x^2; \quad \color{blue}{x \leq 3}$$

Ahora, su ecuación es equivalente a la primera con la restricción. Si usted recibe cualquier solución mayor que $3$, (en este caso, $6$), sabrías que se satisface con la nueva ecuación, pero no la original.

Answer 2

Cuando nos cuadrado ambos lados, podríamos introducir adicional de la solución.

Un ejemplo extremo es la siguiente:

Solucionar $x=1$.

La solución es sólo $x=1$.

Sin embargo, si nos la plaza de ellos, $x^2=1$. Ahora $x=-1$ también satisface la ecuación nueva que ya no es más el problema original.

Observación: tenga en cuenta que a medida que escribo $$\sqrt{2x-3}=3-x,$$

hay implícita una restricción que necesitamos $3-x \ge 0$.

Answer 3

La pregunta inicial es en realidad:

Si $x$ existe, entonces se satisface $\sqrt{2x-3}+x=3$. ¿Qué es $x$?

Con cada lógicamente sonido algebraicas paso, la pregunta inicial es reformulado, llevando eventualmente a:

Si $x$ existe, entonces se satisface $x = 2\text{ or } x= 6$. ¿Qué es $x$?

Desafortunadamente, todavía no han hecho nada para demostrar que x existe. Si todos los pasos lógicos son si y sólo si , o reversible, entonces hemos terminado. Podríamos 'vamos a $x = 2$ o $x = 6$' y seguir la lógica hacia atrás para demostrar que x es una solución de la ecuación original. Por desgracia, como se ha señalado en otras respuestas, el cuadrado no es reversible, de paso, la función de raíz cuadrada no es el mismo como el inverso del cuadrado de la función. Podemos ver esto al señalar que el cuadrado de la función de toma de números positivos y negativos y los asigna a los números positivos. Mientras tanto, la raíz cuadrada de la función de toma positiva sólo números y las asigna a los números positivos sólo.

Todo esto es un largo camino de decir que la alternativa a la comprobación de las respuestas es la comprensión de que algebraicas pasos son reversibles y los que no lo son. En la práctica, su más fácil comprobar sus respuestas cada vez.

Answer 4

Para construir a partir de las respuestas proporcionadas, la ecuación que se desea resolver es

$$\sqrt{2x-3} = 3-x$$

Para ello, cuadrado ambos lados, y resolver

$$2x-3 = (3-x)^2$$

que tiene dos soluciones. Sin embargo, esta ecuación también puede ser obtenido por el cuadrado

$$-\sqrt{2x-3} = 3-x$$

La segunda solución es la solución a esta segunda ecuación. Esto es fácil de ver, con una trama:

Answer 5

Su razonamiento es una cadena de implicaciones: si $x_0$ es una solución, entonces..., entonces $x_0$ debe $\cdot$ o $\cdot$. Como usted no tiene equivalencias en lugar de implicaciones en cada paso, el final potencial de $x$s sólo son un superconjunto de soluciones, que debe ser enchufado en el problema original, para ver si encajan.

Un cambio en las variables pueden mostrar algunas ideas adicionales. Para deshacerse de la raíz, se puede elegir un positivo $y$ tal que $y^2 = 2x-3$, y por lo tanto $ 2x-3=\sqrt{y}$.

Puede reescribir la ecuación como:

$$y+(y^2+3)/2 = 3$$

o

$$2y+y^2 = 3$$

Este sistema tiene dos soluciones $y_a$ e $y_b$: una solución obvia es real, la satisfacción de $2\times 1+1^2=3$o $y_a=1$, que los rendimientos de $x=2$. Desde $y_a\times y_b = -3$, la segunda solución sería negativo, que es descartado por hipótesis.

Por lo $x=2$ es la única solución.