¿Por qué anotamos el máximo común divisor de $a$ y $b$ como $(a,b)$ ?

Question

En mi libro de texto sobre teoría elemental de números de una clase del año pasado, así como en otros lugares a través de mi experiencia académica e incluso mensajes aquí, a menudo veo el máximo común divisor anotado como $(a,b)$ (donde representa el máximo común divisor de $a,b$ ).

Mi pregunta es, ¿por qué se utiliza una notación tan inusual? Digo que es inusual (si no un poco absurda), por un par de razones:

• Es poco intuitivo. No concede al lector un conocimiento inmediato de lo que significa. En particular, puedo ver fácilmente que se malinterpreta como un par ordenado de puntos, y no como una función (que básicamente es y toco en un segundo) o que representa un único valor. Una buena notación se entendería inmediatamente, ¿no? No hay que esforzarse en analizar el contexto o el significado.

• A menudo se utiliza una notación más clara, y a sólo tres letras de distancia. Usted podría ciertamente piense en de $(a,b)$ como un par ordenado, si lo consideramos una función. A menudo veo la alternativa $gcd(a,b)$ una función que recibe dos entradas ( $a$ y $b$ ) y calcula su máximo común divisor (o factor, si lo prefieres). El simple hecho de añadir las tres letras hace que la notación sea más clara, ya que aclara que se trata de una función y utiliza un acrónimo relativamente bien aceptado. (O, al menos, yo lo oigo a menudo abreviado como "m.c.d." en la escuela).

Llevo tiempo dándole vueltas y no se me ocurre mucho sin inspirarme en otras notaciones "inusuales". Por ejemplo:

• Entendimiento común en su contexto: considere la $\log(x)$ función. Dependiendo del contexto, sin una base establecida como se ve aquí, se puede presumir que significa lo que sea más "apropiado". Podría ser base $e$ (común en matemáticas), base $10$ (común en ingeniería), o base $2$ (común en informática). La ambigüedad se resuelve esencialmente por el contexto en otras palabras - personalmente, no soy un fan de eso (me gusta la declaración explícita de las bases para una total claridad), pero si tal motivación se mantiene en otros lugares, podría ser razonable que $(a,b)$ podría tomarse como una abreviatura y "entenderse" en el contexto de la teoría de números como el máximo común divisor. Que de hecho se utiliza a pesar de $gcd(a,b)$ que es más claro y algo común también parece sugerir que esto desempeña un papel.

• Quizá empezó así y se siguió utilizando. Por ejemplo, 3Blue1Brown ha hecho un bonito vídeo (basado en un Puesto EMV ) sobre cómo los logaritmos, las raíces y la exponenciación pueden resultar poco intuitivos desde el punto de vista de la notación, y propone una notación alternativa más fácil de entender. No he estado en la escuela secundaria en casi una década, pero adivinando de las discusiones en línea, que, obviamente, no ha recogido demasiado. En ese sentido, quizá sea así para $(a,b)$ Como seguimos anotando la exponenciación, etc., de la misma manera hoy en día a pesar de lo contraintuitivo que es (al menos para los estudiantes), ¿quizás simplemente se "pegó" y proliferó?

No he podido encontrar fácilmente en Internet ninguna razón de por qué, y me fastidia un poco, así que pregunto:

¿Por qué anotamos de forma tan poco intuitiva el máximo común divisor de dos números $a,b$ como $(a,b)$ ?

Por supuesto, reconozco que esto es algo discutible a la luz de la facilidad con que se hace claro - como se estableció anteriormente, todo lo que tengo que hacer es añadir la parte delantera de la paréntesis por $gcd$ o $gcf$ para hacerlo mucho mejor. Y, por supuesto, la gente lo hace. Pero tengo más curiosidad por saber de dónde surgió esta ambigua notación anterior y, a la luz de una notación mejor, por qué se sigue utilizando hoy en día.

Answer 1

La notación par / tupla utilizada tanto para los gcds como para los ideales sirve para resaltar su similitud. Al igual que en el dominio $\,\Bbb Z,\,$ en cualquier PID tenemos la igualdad ideal $\,(a,b) = (c)\iff \gcd(a,b) \cong c,\,$ donde la congruencia significa "asociar", es decir, que se dividen entre sí (difieren sólo en un factor unitario). Así, en un EPI podemos ver de forma equivalente $\,(a,b)\,$ como un gcd o un ideal, y la libertad de ir y venir entre estos puntos de vista a menudo resulta útil.

Los Gcds y los ideales comparten muchas propiedades, por ejemplo, leyes asociativas, conmutativas, distributivas y

$$ b\equiv b'\!\!\!\pmod{\!a}\,\Rightarrow\, (a,b) = (a,b')$$

Utilizando las propiedades compartidas y la notación podemos dar unificado demostraciones de teoremas que son válidos tanto para gcds como para ideales, por ejemplo, en las demostraciones siguientes podemos leer las tuplas como gcds o como ideales

$$(a,b)\,(a^2,b^2)\, =\, (a,b)^3\ \ \ {\rm so}\ \ \ (a,b)=1\,\Rightarrow\, (a^2,b^2) = 1$$

$\quad \color{#c00}{ab = cd}\ \Rightarrow\ (a,c)\,(a,d)\, =\ (aa,\color{#c00}{cd},ac,ad)\, =\, \color{#c00}a\,(a,\color{#c00}b,c,d)\,\ [= (a)\ \ {\rm if}\ \ (a,c,d) = 1] $

Dicha abstracción ayuda a comprender las generalizaciones y analogías en contextos teóricos de anillos más generales, lo que quedará más claro cuando se estudie teoría de los divisores Véase, por ejemplo

Friedemann Lucius. Anillos con teoría de máximos comunes divisores.
manuscripta math. 95, 117-36 (1998).

Olaf Neumann. ¿Qué es y qué no es Divisor?
(¿Qué son los divisores y para qué sirven?) Math. Semesterber, 48, 2, 139-192 (2001).