¿Son topoi como espacios topológicos o como teoría de conjuntos?

Question

Antecedentes: tengo muy poco de intuición acerca de la categoría de teoría, pero estoy tratando de entender la motivación detrás de él.

Wikipedia dice:

En matemáticas, un topos [...] es una categoría que se comporta como la categoría de las poleas de los conjuntos en un espacio topológico (o, más en general: en un sitio). Topoi actúan de forma muy similar de la categoría de conjuntos y poseen una noción de localización; son en un sentido de una generalización del conjunto de la topología.

Por otra parte, este video explica que es un topos es un "universo matemático" dentro de la cual uno puede hacer matemáticas. Yo interpreto esto como diciendo que los diferentes topoi son "fundamentos de matemáticas". Tal vez la categoría de conjuntos es un ejemplo de un topos?

Estoy confundido por esto: la topología es una teoría matemática, mientras que la teoría de conjuntos puede ser visto como un fundamento de las matemáticas. A mí me parece que la teoría de conjuntos es mucho más general que la topología, así que no entiendo por qué la estructura de la topología sería utilizable como un "universo matemático" dentro de la cual las cosas como los grupos y de álgebra lineal puede ser entendido.

Answer 1

Los dos puntos de vista no están en conflicto. Cuando uno piensa de ordinario la teoría de conjuntos tiene dos valores de verdad, tan ingenuamente que un enunciado es verdadero o falso. En un topos no es un objeto de verdad los valores. ¿Qué sería eso? ... como en el conjunto abierto entramado de un espacio. Para mejorar la imaginación / la intuición en este experimento puede ayudar.

Imagina que una declaración en el idioma del conjunto de la teoría podría tener valor en un conjunto abierto de un espacio topológico, $X$. En qué forma la lógica detrás de su teoría de ser diferente de la ciénaga-estándar 2 valores de la lógica. Por ejemplo, una declaración ordinaria como 'la verdadera función con valores de $f$ es no-cero", es verdadera o falsa, pero también podemos asignar un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ a $f$, es decir, el conjunto de puntos en el que $f(x)$ no es cero y que es una mejor medida de la verdad de la declaración que $f$ no es cero. En ese caso, el conjunto de valores de verdad, bastante natural, se $Open(\mathbb{R})$. (El topos aquí sería el de las poleas en $\mathbb{R}$.)

Usted podría preguntarse cómo hacer de la lógica con la verdad a los valores, sino la unión y la intersección en $Open(\mathbb{R})$ permite en forma primaria analógica de, por ejemplo, las tablas de verdad (o análogos de más abstracta y poderosas formas de visualización de la lógica). Eche un vistazo a Steve Vickers pequeño libro: Topología a través de la lógica para algunos muy agradable e intuitiva aspectos de este enfoque en Ciencias de la computación de configuración. Esto es muy general, siempre que reemplazar los espacios en lugares o álgebras de Heyting, que son una abstracción del conjunto abierto entramado de espacios.

Si usted desea ver toposes como generalizaciones de los espacios, se puede ir por otro camino y, por ejemplo, el estudio de las versiones de homotopy teoría que se aplican a Grothendieck toposes. (Pero que sería necesario otro tiempo de respuesta, y esto es suficiente.)