¿Cuándo es$p^2+1$ dos veces de un primo?

Question

Cuando tratamos de resolver un problema más grande, me encontré con el problema de la caracterización de todos los números primos $p,q$ tal que $p^2+1=2q$. Es decir, hay condiciones necesarias y suficientes para los números primos $p,q$ a satisfacer la ecuación? Mejor aún, hay una paramatrisation de soluciones (aunque esto es muy poco probable)? Sé que las soluciones de $(p,q)=(3,5),(5,13),(11,61),(19,181),(29,421)$ pero no sé que estos son los únicos (de hecho, parece probable que haya muchos más).

Algunos incompleta pensamientos: inmediatamente hice la factorización $(p+1)(p-1)=2(q-1)$, y debido a $p$ es, obviamente, extraño, deje $p=2p_1+1$. Esto nos lleva a la ecuación de $2p_1(p_1+1)=q-1$. Si sustituimos $q=2q_1+1$ tenemos $p_1(p_1+1)=q_1$, lo $q$ es el doble del producto de dos enteros consecutivos, más uno. De ello se desprende que $q$ es $1$ mod $4$, e $p^2$ es $1$ mod $8$. La misma conclusión puede obtenerse simplemente señalando que $-1$ debe ser una ecuación cuadrática de residuos de mod $2q$, por lo tanto $1$ es $4$th poder de residuos de mod $2q$. Por Lagrange del Teorema tenemos $4\mid\phi(2q)=q-1$, lo $q \equiv1$ mod $4$. Cualquier otra idea se agradece!

Answer 1

Tenemos un número infinito de primos de la forma $$\frac{p^2+1}{2}$$ where $ p$ is itself prime, if we have infinite many positive integers $ k$ such that $$2k+1$$ and $$2k^2+2k+1$$ are simultaneously prime. (in this case, just set $ p = 2k +1 $ ). La conjetura de Bunyakovsky implica que este es el caso, por lo que es muy probable que existan muchos ejemplos infinitos. Pero estoy convencido de que el problema está abierto.