Tratando de analizar una solución de Putnam desde 1995

Question

Estoy teniendo problemas para el análisis de la solución para el 1995 Putnam, pregunta A2. La prueba de ingresos:

Los más fáciles de la prueba utiliza `big-O" la notación y el hecho de que los $(1+x)^{1/2} = 1 + x/2 + O(x^{2})$ for $|x|<1$. (Here $O(x^{2})$ significa acotado por una constante veces $x^{2}$.) Yo: Eso es todo bien y bueno, y puedo llegar a que por la generalizada del teorema del binomio.

La prueba sigue: \begin{align*} \sqrt{x+a}-\sqrt{x} &= x^{1/2}(\sqrt{1+a/x} - 1) \\ &= x^{1/2}(1 + a/2x + O(x^{-2})), \end{align*}

Parece que es un error, aparecería la prueba escritor dejó caer la menos 1.

Pero sigue, por lo tanto

$\sqrt{\sqrt{x+a} - \sqrt{x}} = x^{1/4} (a/4x + O(x^{-2}))$

Que estoy en una pérdida de cómo llegar.

Answer 1

OK, así que el primer paso es claramente un error con ellos dejando caer la $-1$. Sin embargo, voy a tratar de explicar lo que has hecho, aunque no tiene sentido. En primer lugar, vamos a empezar con sus (aunque mal) ecuación:

$$\sqrt{x+a}-\sqrt{x}=x^{1/2}(1+\frac{a}{2x}+O(x^{-2}))$$ Ahora, toma la raíz cuadrada: $$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=[x^{1/2}(1+\frac{a}{2x}+O(x^{-2}))]^{1/2}$$

Distribuir el exponente: $$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=x^{1/4}[(1+\frac{a}{2x}+O(x^{-2}))]^{1/2}$$

Ahora, la segunda expresión de la derecha es en forma de $(1+z)^{1/2}$, así que voy a utilizar la siguiente fórmula:

$$(1+z)^{1/2}=1+\frac z 2+O(z^2)\rightarrow \\ (1+\frac a{2x}+O(x^{-2}))^{1/2}=1+\frac{a}{4x}+\frac{1}{2}O(x^{-2})+O(\frac{a^2}{4x^2})=1+\frac{a}{4x}+O(x^{-2})$$

Por lo tanto, obtenemos:

$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=x^{1/4}(1+\frac{a}{4x}+O(x^{-2}))$$

Ah, y recuerda que $-1$ nos cayó en el primer paso? Vamos a tratar de añadir que de nuevo aquí, porque...¿por qué no?

$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=x^{1/4}(1+\frac{a}{4x}+O(x^{-2})-1)$$ $$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=x^{1/4}(\frac{a}{4x}+O(x^{-2}))$$ Por lo tanto, obtenemos la misma ecuación que hice, y sólo teníamos que hacer dos errores matemáticos para llegar allí!