¿Para qué$a$ tiene la ecuación$a^x=x+2$ dos soluciones?

Question

Necesito encontrar los valores de $a$ por la siguiente ecuación tiene dos soluciones reales.

$$a^x=x+2$$

• $(1,\infty)$
• $(0,1)$
• $1/e,e$
• $(1/(e^e), e^e)$
• $(e^{1/e}, \infty)$

Esto es cómo he resuelto este ejercicio, pero no entiendo algunas cosas.

Me gustaría saber si hay otra manera de resolver este tipo de ejercicio. Yo sería feliz si me gustaría obtener algunas ideas.

También, desde mi solución, no entiendo el por qué de que los resultados de la mesa sólo una solución y a partir de la gráfica de resultados de las dos soluciones. Generalmente, para ver el número de soluciones que utilizan este tipo de tabla.

Para $a>1$, $f$ disminuye desde el infinito a -1, entonces el aumento de -1 hasta el infinito. Estoy realmente confundido. Necesita algunas sugerencias aquí.

Gracias!

Answer 1

Su intento de que está mal, lo siento: sólo se puede utilizar en casos particulares. Y en el caso de $a=-e$ es imposible, porque $a^x$ sólo está definida para $a>0$. La respuesta debe ser en términos de $a$, y el uso de un único valor no es suficiente.

Considere la función $f(x)=a^x-x-2$. Entonces $$ f'(x)=a^x\log a-1 $$ (con $\log$ siendo el logaritmo natural). Esto no desaparecen por $0<a\le 1$, por lo que la función puede tener dos ceros sólo para $a>1$.

En este caso, el punto de mínima es en $$ x=-\frac{\log\registro de un}{\log} $$ Set $b=\log a$, por simplicidad. A continuación, $a=e^b$ e $a^x=e^{bx}$; queremos evaluar $$ f\left(-\frac{\log b}{b}\right)=e^{-\log b}+\frac{\log b}{b}-2=\frac{-1+\log b-2b}{b} $$ Considere la posibilidad de $g(t)=-1+\log t-2t$, $t>0$; a continuación, $g'(t)=\frac{1}{t}-2$, que se desvanece para $t=1/2$; desde $$ g(1/2)=-1-\log 2-1<0 $$ usted tiene la respuesta deseada, porque esto implica $g(b)<0$.

Answer 2

intente dibujar en gráficos, el primero: $$f(x)=a^x$ $ y el segundo: $$g(x)=x+2$ $ Recomiendo usar www.desmos.com

Ahora verifica dónde se encuentran los 2 gráficos

este es un caso de ecuación trascendental, no creo que tenga una solución analítica, generalmente las resuelves numéricamente o gráficamente, o incluso usando series de Taylor para la aproximación