Es realmente cierto que "si una función es discontinua, de forma automática, no es diferenciable"?

Question

Yo mientras, mi maestro de cálculo dijo algo que me resulta muy molesto. Yo no tenía tiempo para aclarar, pero dijo:

Si una función es discontinua, de forma automática, no es diferenciable.

Me parece que esta molesto porque no puedo pensar en muchos discontinuo funciones definidas a trozos como este:

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{%#%#%} \\ x^2+3, & \text{%#%#%} \end{casos}$$

Donde $x≤3$ tendría dos partes de la misma función, y dar: $$\begin{align} f'(x) = && \begin{cases} 2x, & \text{%#%#%} \\ 2x, & \text{%#%#%} \end{casos} \\ = && 2x \end{align}$$

Entonces, me pregunto, ¿qué es exactamente malo con esto? Hay algo que me falta, acerca de lo que significa ser "continuo"? O tal vez, hay reglas especiales para lidiar con las derivadas de funciones definidas a trozos, que yo no sé acerca de.

Answer 1

Echemos un vistazo a su función.

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{%#%#%} \\ x^2+3, & \text{%#%#%} \end{casos}$$

Claramente, el único punto interesante es cuando $x≤3$. Así que vamos a ver la diferenciabilidad en $x>3$. A continuación, veremos

$x = 3$$ Como $3$ (de la derecha), se puede ver que este último término se a $$ \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 + 3 - 3^2}{h} = \frac{3 + 6h + h^2}{h}.$, así, la función no es diferenciable en a $h \to 0$.

Si usted piensa acerca de ello, esto tiene sentido. La derivada da la mejor aproximación lineal, y la tasa de variación en $\infty$ no está definido --- es un salto de discontinuidad, y no hay ninguna línea tangente allí.

¿Ahora dónde salió mal?

Answer 2

Ignorando flagrantemente su ejemplo concreto: supongamos que una función de $f$ es diferenciable en un punto de $x$. Entonces, por definición de la diferenciabilidad:

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

debe existir (y por esta notación me refiero a los límites existentes en las direcciones positivas y negativas y son iguales). Desde la parte inferior de la fracción enfoques $0$, es necesario que la parte superior también acercarse a $0$ o más de la fracción diverge. Pero la parte superior se aproxima $0$ es sólo la definición de $f$ continua en $x$. Para una función que no es continua no puede ser diferenciable.

Así, su ejemplo no puede ser derivable por la misma razón que no puede ser continua, que es la parte superior de la fracción tiende a $3$, no $0$, cuando se aborda desde la dirección positiva.

Answer 3

El problema es cuando se dio la derivada de $x \leq 3.$ Lo que usted le dio es correcta para $x < 3,$, pero no por $x=3.$ Considera secante pistas a cerca de los puntos con un punto fijo en $(3,9),$ que es lo que la definición de la derivada requiere. Mirando a la izquierda, se obtiene la secante vertientes que convergen a $6$ como se enfoque el punto fijo, $(3,9).$ Pero mirando a la derecha se llega secante pendientes de que el enfoque de $+\infty$ como se enfoque el punto fijo, $(3,9).$

Answer 4

La derivada depende del comportamiento de la función en una vecindad del punto. En este caso, solo se puede decir $$ f'(x) = \begin{cases} 2x, & x<3\\ 2x, & x>3 \end{casos}\\ = 2x,\qquad x\ne 3. $$ Y $f'(3)$ no existe.

Answer 5

Dibujar la imagen. A la izquierda de la línea vertical $x=3$ ver la mitad de una parábola que abre hacia arriba. A la derecha se ve la mitad de la otra parábola que abre hacia arriba, pero es desplazado verticalmente. Eso significa que no hay pendiente de la curva en ese punto. La pendiente se aproxima a la misma cosa en curva a medida que el enfoque de la línea vertical, y que es lo que has demostrado. Pero mira el salto vertical en ese punto.

Supongamos que, como $x\to3$ hemos $$ \frac{f(x) - f(3)}{x-3} \a L $$ de modo que $f'(3)=L$. Entonces \begin{align} \lim_{x\to 3} (f(x)-f(3)) & = \lim_{x\to 3} \left( (x-3) \frac{f(x)-f(3)}{x-3} \right) \\[10pt] & = \left( \lim_{x\to 3} (x-3) \right) \left( \lim_{x\to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} \right) = 0 \cdot L \\[6pt] & \qquad\qquad (\text{where } L = f'(3) ) \\[10pt] & = 0, \end{align} lo cual implicaría $f(x)\to f(3)$, por lo que el $f$ es continua en a $3$. Por lo tanto, si $f'(3)$ existe, $f$ es continua en a $3$.