¿Los colectores de homología contráctiles tienen un extremo?

Question

Si $X$ es un espacio, entonces digamos que $\pi_0^\infty(X)$ es el conjunto de clases de equivalencia de la correcta mapas de $[0,\infty) \to X$, modulo adecuado homotopy (el mapa de $[0,1] \times [0,\infty) \to X$ debe ser la adecuada). Llame a un elemento de este conjunto un "final de X".

Si $X$ es compacto, $X$ no tiene extremos. Si $X = \Bbb R$, a continuación, $X$ tiene dos extremos, correspondiente a la identidad y la negación de mapas de $[0, \infty) \to \Bbb R$. Si $X = \Bbb R^n$ para $n > 1$, a continuación, $X$ tiene un final.

De hecho, la generalización de este, si $M^\circ$ es el interior de algunas compacto colector con límite de $M$, entonces podemos identificar a $\pi_0^\infty(X) = \pi_0(\partial M)$.

Supongamos $M$ está conectado y por lo tanto, si $M^\circ$ tiene más de un final, a continuación, $H_0(\partial M;\Bbb Z/2)$ es mayor que 1-dimensionales (todas las (co)homología de grupos de $\Bbb Z/2$ coeficientes a partir de ahora); la relativa larga secuencia exacta implica entonces que $H_1(M, \partial M)$ no es trivial ; la aplicación de Poincaré-Lefschetz dualidad nos encontramos con que $H^{n-1}(M)$ es distinto de cero.

Así llegamos a la conclusión: si $M$ está conectado a un colector compacto con límite cuyo interior se ha más que sobre el final, a continuación, $H^{n-1}(M) \neq 0$. Esto encaja con las situaciones que vemos en la práctica: la manera más fácil de construir $M$ con dos extremos es tomar el interior de $N \times [0,1]$ para $N$ cerrado conectado el colector.

Después de todo esto, una nueva definición. Una $n$-dimensiones de la homología de colector es localmente compacto separable espacio de Hausdorff, de modo que en cada punto de $x \in M$, tenemos $H_k(M, M -x) = H_k(\Bbb R^n, \Bbb R^n - 0)$. Teoremas como Alexander dualidad y la dualidad de Poincaré continuar en este contexto.

Es cierto que un conectada $n$-dimensiones de la homología de colector con más de uno de los extremos ha $H^{n-1}(M) \neq 0$?

El nombre del juego parece ser que averiguar si se puede encontrar una prueba usando sólo homológica teoremas de dualidad, y no con algún tipo de compactification a un manifold con frontera.

Esta pregunta vino.en el curso de responder a esta pregunta, en la que necesitaba para demostrar que ciertas contráctiles de la homología de los colectores tienen 1 final. Terminé la restricción para el 2-dimensional caso, donde un contráctiles homología de colector debe ser $\Bbb R^2$.

Answer 1

Primero de todo, vamos a $X$ ser razonablemente agradable espacio, digamos, metrizable y localmente compacto. Definir $$H^i(Extremos(X))=\lim_K H^i(X-K),$$ donde la directa límite es compacto subconjuntos $K$ en $X$. (Del mismo modo, se define el $H_i(Ends(X))$ tomando el límite inversa.) De hecho, estos grupos son los Chech cohomology de los grupos en el espacio de los extremos de $X$ pero no la voy a necesitar esto.

El espacio de $X$ tiene más de un final, si y sólo si $$\tilde{H}^0(Extremos(X))\ne 0,$$ donde yo estoy usando la reducción de la cohomology. Por otro lado, la cohomology con el apoyo local de $X$satisface $$H^1_c(X)\cong \lim_K H^1(X, X-K).$$ Supongamos ahora que $X$ es acíclicos como en su caso. A continuación, por el largo de la secuencia exacta de un par, $$\lim_K H^1(X, X-K) \cong \lim_K \tilde{H}^0(X-K)\cong \tilde{H}^0(Extremos(X)).$$ Por el Alexander dualidad, suponiendo que $X$ es $n$-dimensiones de la homología de colector, $$H^1_c(X)\cong H_{n-1}(X).$$ Por lo tanto, desde el $X$ es acíclico, $$\tilde{H}^0(Ends(X))\cong H^1_c(X)\cong H_{n-1}(X)=0,$$ i.e. $X$ tiene exactamente un extremo.