Paradoja aparente cuando usamos el teorema de Kelvin-Stokes y hay una dependencia del tiempo.

Question

Estoy teniendo problemas para entender lo que está pasando con la de Maxwell–Faraday ecuación: $$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t},$$ donde $E$ es el eléctrico firld y $B$ el campo magnético. La ecuación es local, en el sentido de que cualquier cambio en el punto de $x$ no afectan a lo que ocurre en otro punto de $x'$, al menos no de manera instantánea. Es decir, si hay un cambio en $B$ sólo en la posición $x$, entonces el cambio se necesita tiempo para que se propaguen a $x'$. Pero podemos usar el Kelvin–teorema de Stokes y escribir la ecuación en forma integral:
$$\int_{\partial \Sigma} E.d\ell = - \frac{\partial}{\partial t}\int_\Sigma B \cdot dS,$$ que es básicamente diciendo que un cambio en la $B$ en el centro de la superficie afectará instantáneamente $E$ en el borde.

Lo que está mal con mi interpretación de estas ecuaciones?

Answer 1

Buena pregunta!

La respuesta, al menos para mí, radica en que la integral en forma de superficies arbitrarias $\Sigma$. Esto puede ser interpretado de dos maneras:

• Para un determinado circuito cerrado $\ell\in\mathbb{R}^3$, hay infinitamente muchas superficies lisas $\Sigma$ tal que $\partial\Sigma=\ell$;
• El circuito cerrado $\ell$ puede ser arbitrariamente especificado.

Por lo tanto, mientras que la integral aparece el formulario no local, es en realidad local, como usted puede tomar un "pequeño" bucle cerrado $\ell$ (por ejemplo, un círculo con un radio infinitesimal).

Además, incluso si usted toma un "gran" bucle cerrado $\ell$, usted todavía puede elegir diferentes de la superficie de $\Sigma$, de tal manera que un cambio local de $\mathbf{B}$ en $\Sigma$ no afectaría el valor de $\mathbb{E}$ a $\ell=\partial\Sigma$.

Con estos argumentos, tu pregunta puede ser interpretada de la siguiente manera. Supongamos que usted ha elegido algunos de los $\ell$ e $\Sigma$ con $\ell=\partial\Sigma$. Supongamos $\mathbf{B}$ observa un pequeño cambio en el interior de $\Sigma$. Entonces, de acuerdo a $$ \oint_{\ell}\mathbf{E}\cdot{\rm d}\mathbf{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Sigma}\mathbf{B}\cdot{\rm d}\mathbf{S}, $$ parece como si $\mathbf{E}$ también produce algunos cambios a lo largo de $\ell$. Pero espera! Desde el cambio en $\mathbf{B}$ es pequeña, es posible que desee encontrar algunos $\Sigma'$, de tal manera que (1) $\partial\Sigma'=\ell$, y que (2) $\mathbf{B}$ no tiene ningún tipo de cambio en $\Sigma'$. En este sentido, usted va a obtener, al menos por el momento, $$ \oint_{\ell}\mathbf{E}\cdot{\rm d}\mathbf{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Sigma'}\mathbf{B}\cdot{\rm d}\mathbf{S}=0, $$ con la cual usted no tiene idea de si es o no $\mathbf{E}$ cambios a lo largo de $\ell$. Para pequeños cambios en la $\mathbf{B}$, usted puede aplicar la integral de la forma alrededor de cada punto en $\ell$ con pequeños bucles cerrados $\ell'$ y las superficies de $\Sigma''$ con $\partial\Sigma''=\ell'$ en que $\mathbf{B}$ no encuentra ningún cambio, y la arbitrariedad de la elección de $\ell'$ e $\Sigma''$ implicaría la libre de cambio en $\mathbf{E}$. Este truco no sólo de si el cambio en $\mathbf{B}$ aciertos $\ell$, lo que indica exactamente la localidad de su física.

Espero que esto podría ser útil para usted.

Answer 2

Como también tenemos $\nabla\times B = 0$ , solo puede cambiar $B$ agregando un bucle completo. En este caso, cruzará la superficie $S$ una vez en cada dirección, por lo que será 0, o irá alrededor de la corriente del perímetro e inducirá una corriente, que cambiará $E$ .