¿Son todas las funciones que tienen una primitiva diferenciable?

Question

Son funciones de todos los que tienen una primitiva diferenciable?

Para algunos el fondo, sé que no todas las funciones que son integrables son diferenciables. Por ejemplo:

$$ f = \begin{cases} 0 & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{casos} $$

es integrable sobre a$\mathbb{R}$, e $\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$. Sin embargo, una función de $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x) \space \forall x \in \mathbb{R}$ no existe.

Pero no puedo encontrar un contraejemplo a la declaración: "Todas las funciones que tiene una primitiva son diferenciables". Estas funciones están garantizados para ser continua debido a que el teorema fundamental del cálculo, pero no toda función continua es diferenciable, por lo tanto la pregunta.

Gracias !

---

Edit: aquí es muy importante el comentario de @HenningMakholm que pensé que sería útil para otros estudiantes de encontrarse con esta pregunta

También, (real) de las funciones que tienen una primitiva no son necesariamente continuas. Por ejemplo,

$$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x = 0 \\ 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}) & \text{otherwise} \end{casos} $$

es discontinua en a$x=0$, pero sin embargo la derivada de

$$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ for } x = 0 \\ x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{ otherwise} \end{casos} $$

Funciones que tienen una primitiva tiene el intermedio-valor de la propiedad , sino que es más débil que ser continua.

Answer 1

Una primitiva para $f(x)=x^{1/3}$ es $F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}$ , pero $f'(0)$ no existe, porque $$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^{1/3}}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x^{2/3}}=\infty$ $

Answer 2

Aún más simple: $f(x) := |x|$ .