Demuestre que$\sum_{n = 1}^{p - 1} n^{p - 1} \equiv (p - 1)! + p \pmod {p^2}$ para$p$ es un primo impar

Question

Tengo que probar lo siguiente:

$$\sum_{n = 1}^{p - 1} n^{p - 1} \equiv (p - 1)! + p \pmod {p^2}$$

...con $p$ ser un extraño número primo. La declaración es obviamente cierto para$\pmod p$ porque el lado izquierdo es congruente a $-1 \pmod p$ por Fermat poco teorema, y el lado derecho también resulta ser congruente a $-1 \pmod p$ por Wilson del teorema. Ahora, no estoy seguro de cómo hacer un salto de$\pmod p$ a$\pmod {p^2}$, si que es posible. Tal vez la suma de la izquierda de alguna manera podría ser modificada mediante la existencia de la raíz primitiva$\pmod {p^2}$.

EDIT: Primaria la solución puede ser encontrar aquí: https://mathoverflow.net/a/319824/134054

Answer 1

Una pista: note que

$$\sum^{p-1}_{n=1}n^{p-1}=\frac{1}{p}\sum^{p}_{n=1}C^{p-n}_{p}B_{p-n}p^n=\sum^{p}_{n=1}C^{p-n}_{p}B_{p-n}p^{n-1}$ $ donde $B_k$ es el $k$ -th número de Bernoulli.

(Para más información sobre el número de Bernoulli: https://www.bernoulli.org/ )