Cómo probar que el triángulo equilátero formado por las esquinas del cubo no puede ser insertado completamente en este cubo

Question

Me gustaría probar que el triángulo equilátero prescrito por las esquinas y lados del cubo es igual a $b = a \sqrt {2}$ no puede ser insertado en el interior de un cubo de lado $a$ . Este triángulo se presenta por figura 1 .

Mi idea para probar esto es la siguiente:

Asumimos que de acuerdo con la figura 2 triángulo $ABC$ prescribir una esfera de radio $r = a \sqrt {2}$ . La posición del punto $B$ se fija en el centro de la esfera y apunta $A$ y $C$ están en su superficie. Ahora mismo podemos ver que si intentamos mover el punto $A$ o $C$ en la superficie de la esfera hasta el interior del cubo, uno de ellos siempre saldrá o se quedará en la esquina del cubo. Por lo tanto, los puntos $A,C$ sólo se puede ubicar en las esquinas del cubo y no pueden entrar ambos en un cubo.

¿Qué piensas de esta idea? ¿También hay alguna prueba conocida de esto?

Answer 1

Lemma . El producto de las longitudes de los lados de un triángulo que se encuentra en el cubo de la unidad no más de $2 \sqrt {2}$ .

Prueba . Ver aquí la primera respuesta.

Deje que $a = 1$ . Entonces si tu triángulo equilátero se inserta en el interior del cubo, podemos inflarlo y obtener un triángulo con un producto de longitudes de lados más que $2 \sqrt {2}$ . Tenemos una contradicción.