Desigualdad en el espacio de Schwartz

Question

Estoy tratando de demostrar el teorema 9.2 del libro "Lectures on Lineal de Ecuaciones Diferenciales Parciales" wtitten por G. Eskin. En la prueba de este teorema es la desigualdad que hace que los problemas para mí. En primer lugar quiero recordar a la designación.

Multi-índice: $\alpha=(\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}) \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$, la duración de la multi-índice: $| \alpha | = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$, diferenciales parciales operador: $$D^{\alpha} = \frac{\partial ^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.$$ Moreover $|x|=\sqrt{x_1^2+ \ldots + x_n^2}$, Schwartz space: $$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n) = \{f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n) \colon \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} (1+|x|)^{m}|D^{\beta}f(x)| < \infty, \: m \in \mathbb{N}, \: \beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \}.$$ Seminorm en el espacio de Schwartz: $$ \|f\|_{m,\mathcal{S}} = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} (1+|x|)^{m} \sum_{|\beta| = 0}^{m} |D^{\beta}f(x)|. $$ Para cada función de $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, para cada multi-índice de $\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$, y para cada $m \in \mathbb{N}$ hemos \begin{equation*} (1+|x|)^{m}D^{\beta}f(x) = \int \limits_{-\infty}^{x_1} \cdots \int \limits_{-\infty}^{x_n} D^{(1,\ldots,1)}[(1+|y|)^{m}D^{\beta}f(y)] \; dy_n \ldots dy_1. \end{ecuación*}

Tenemos que mostrar la desigualdad. \begin{equation} \| f \|_{m,\mathcal{S}} \leq C_{1} \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^m |D^{\beta} f(y)| \; dy, \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{equation}

He utilizado anteriormente propiedades, se utiliza Leibniz y tengo esto:

\begin{eqnarray*} \|f\|_{m,\mathcal{S}} &=& \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} (1+|x|)^{m} \sum_{|\beta| = 0}^{m} |D^{\beta}f(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \sum_{|\beta| = 0}^{m} \left| (1+|x|)^{m} D^{\beta}f(x) \right|\\ &=& \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \sum_{|\beta| = 0}^{m} \left| \int \limits_{-\infty}^{x_1} \cdots \int \limits_{-\infty}^{x_n} D^{(1,\ldots,1)}[(1+|y|)^{m}D^{\beta}f(y)] \; dy_n \ldots dy_1 \right|\\ &\leq & \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int \limits_{-\infty}^{x_1} \cdots \int \limits_{-\infty}^{x_n} \left| D^{(1,\ldots,1)}[(1+|y|)^{m}D^{\beta}f(y)] \right| \; dy_n \ldots dy_1 \\ & \leq & \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \left| D^{(1,\ldots,1)}[(1+|y|)^{m}D^{\beta}f(y)] \right| \; dy = \\ & = & \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \left| \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} D^{\alpha}\left( (1+|y|)^{m} \right) \cdot D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ &=& \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \left| \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} c_0 \cdot y^{\alpha} |y|^{-2|\alpha|} (1+|y|)^{m} \cdot D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ & \leq & \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} \left| c_0 \cdot y^{\alpha} |y|^{-2|\alpha|} (1+|y|)^{m} \cdot D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ & \leq & \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} c_0 \cdot |y|^{|\alpha|} |y|^{-2|\alpha|} (1+|y|)^{m} \cdot \left| D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ &=&\sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} c_0 \cdot |y|^{-|\alpha|} (1+|y|)^{m} \cdot \left| D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ &=&\sum_{|\beta| = 0}^{m}\sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} c_0 \cdot \int _{\mathbb{R}^n} |y|^{-|\alpha|} (1+|y|)^{m} \cdot \left| D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy \\ \end{eqnarray*}

Es casi lo que tengo problema es con el factor de $|y|^{-|\alpha|}$. Tiene alguien idea de cómo demostrarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Primero para $j$ es impar, \begin{align} D^\alpha\left(|y|^j\right)=c_j\cdot y^\alpha\cdot |y|^{j-2|\alpha|}. \end{align} Para $j$ es incluso, $D^\alpha\left(|y|^j\right)=0$ si $j<2|\alpha|$. A continuación, vamos a ver \begin{align} \left|D^\alpha\left((1+|y|)^m\right)\right|\le\sum_{j=0}^m \left(\begin{array}{cc}m\\j \end{array}\right)\left|D^\alpha\left(|y|^j\right)\right|=\sum_{j=1}^m c_j\cdot \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|}\le \sum_{j=1}^m c_j\cdot |y|^{j-|\alpha|}. \end{align} En la anterior suma, el primer término se desvanece, ya que es una constante, el resto de ellos tienen forma similar con el exponente de $|y|$ mayor que o igual a $1-|\alpha|$. Entonces es claro que \begin{align} \left|D^\alpha\left((1+|y|)^m\right)\right|\le C|y|^{1-|\alpha|}(1+|y|)^m, \end{align} de modo que la integral (citado de tu pregunta) \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|D^\alpha\left((1+|y|)^m\right)\right|\cdot \left| D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy,\quad |\alpha|\le n, \end{align} converge, por lo que la integral converge.

En el siguiente voy a responder por qué \begin{equation} \| f \|_{m,\mathcal{S}} \leq C \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^m |D^{\beta} f(y)| \; dy, \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{equation} Desde el enlace del libro de texto, a mí me parece que el autor quiere decir que esto es obvio y fácil derivar. He pensado en ello durante mucho tiempo, pero no soy capaz de dar cualquier manera fácil (tal y como lo dijo, el plazo $|y|^{1-|\alpha|}$ es difícil deshacerse de). En primer lugar, como se deduce en la cuestión, hemos \begin{align} \| f \|_{m,\mathcal{S}} \le& \sum_{|\beta| = 0}^{m} \int _{\mathbb{R}^n} \left| \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} D^{\alpha}\left( (1+|y|)^{m} \right) \cdot D^{\gamma} \left( D^{\beta}f(y) \right) \right| \; dy. \end{align} A continuación, desde el cálculo del resultado que dan de arriba, sabemos que \begin{align} \| f \|_{m,\mathcal{S}} \le& \sum_{|\beta| = 0}^{m} \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} \int _{\mathbb{R}^n} \left| D^{\alpha}\left( (1+|y|)^{m} \right)\right| \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy \\ \le& \sum_{|\beta| = 0}^{m} \sum _{\alpha + \gamma = (1,\ldots ,1)} \binom{n}{|\gamma|} \sum_{j=1}^m c_j\cdot \int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy. \end{align} Ahora vamos a considerar para simplificar la integral \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy. \end{align} Solo voy a mostrar para$\alpha=(1,1,\ldots,1)$$j=1$, los otros casos son similares y más fácil. En este caso, la integral anterior se convierte en \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|y_1y_2\ldots y_n\right|\cdot |y|^{1-2n} \cdot \left| D^{\beta}f(y) \right| \; dy. \end{align} Volver a escribir como \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} y_1|y|^{1-2n} \cdot F_1(y) \; dy, \end{align} donde $F_1(y)=\textrm{sign}(y_1)\left|y_2\ldots y_n\right|\cdot \left| D^{\beta}f(y) \right|$. Tenga en cuenta que $F_1$ no es diferenciable sólo en el cero de la medida de ajuste (debido a $D^{\beta}f(y)$ es suave), entonces la integración por parte de esta integración por parte no es fácil de probar, ya que el derivado haya saltos en alguna parte), hemos \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|y_1y_2\ldots y_n\right|\cdot |y|^{1-2n} \cdot \left| D^{\beta}f(y) \right| \; dy&=\int _{\mathbb{R}^{n-1}} \left(\int _{\mathbb{R}} F_1(y) \cdot |y|^{1-2n}y_1 \; dy_1\right)dy_2\ldots dy_n \\ &=-C\int _{\mathbb{R}^{n-1}} \left(\int _{\mathbb{R}} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(y) \cdot |y|^{3-2n} \; dy_1\right)dy_2\ldots dy_n \\ &\le C\int _{\mathbb{R}^{n}} \left|\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(y)\right| \cdot |y|^{3-2n} \; dy \\ &\le C\int _{\mathbb{R}^{n}} \left|y_2\ldots y_n\right|\cdot \left| D_1D^{\beta}f(y) \right| \cdot |y|^{3-2n} \; dy. \end{align} Repetir el procedimiento anterior (set $F_2(y)=\textrm{sign}(y_2)\left|y_3\ldots y_n\right|\cdot \left| D_1D^{\beta}f(y) \right|\ldots$ y así sucesivamente), por fin podemos obtener \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|y_1y_2\ldots y_n\right|\cdot |y|^{1-2n} \cdot \left| D^{\beta}f(y) \right| \; dy\le& C\int _{\mathbb{R}^{n}} \left| D^{\alpha}D^{\beta}f(y) \right| \cdot |y| \; dy \\ \le& C\int _{\mathbb{R}^{n}} (1+|y|)^m \cdot \left| D^{\alpha}D^{\beta}f(y) \right| \; dy. \end{align} Así que tenemos para todos $\alpha+\gamma=(1,1,\ldots,1)$, $|\beta|\le m$, \begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy\le C\int _{\mathbb{R}^{n}} (1+|y|)^m \cdot \left| D^{(1,1,\ldots,1)}D^{\beta}f(y) \right| \; dy. \end{align} Resumiendo todo lo anterior, podemos concluir \begin{equation} \| f \|_{m,\mathcal{S}} \leq C \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^m |D^{\beta} f(y)| \; dy, \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{equation}

Por otra parte, me di cuenta de que en el libro de texto por este resultado, el autor sólo quiere mostrar \begin{equation} \| f \|_{m,\mathcal{S}}^2 \leq C \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^{2m+n+1} |D^{\beta} f(y)|^2 \; dy, \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{equation} Si se demuestra de manera directa, las cosas pueden ser menos complicado. Primero, por la C-S de la desigualdad y la fórmula de Newton, \begin{align} \left(\int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy\right)^2\le& C\int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} (1+|y|)^{n+1} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right|^2 \; dy \\ =& C\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{cc}n+1\\k \end{array}\right)\int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j+k-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right|^2 \; dy. \end{align} A continuación, establecemos $$F_1(y)=\textrm{sign}(y_1)\left|y_2\ldots y_n\right|\cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right|^2.$$ En este caso, $F_1(y)$ está en todas partes lisas con respecto a $y_1$, excepto en $0$, y la integración por parte es fácil demostrar (dividir la integral por $\int_{-\infty}^{-\epsilon}+\int^{\infty}_{\epsilon}$ y deje $\epsilon\to0$ a un aproximado) y tenemos

\begin{align} \int _{\mathbb{R}^n} |y|^{j+k-2|\alpha|}y_1 \cdot F_1(y) \; dy&=-C\int _{\mathbb{R}^{n-1}} \left(\int _{\mathbb{R}} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(y) \cdot |y|^{j+k-2|\alpha|+2} \; dy_1\right)dy_2\ldots dy_n \\ &\le C\int _{\mathbb{R}^{n}} \left|\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(y)\right| \cdot |y|^{j+k-2|\alpha|+2} \; dy \\ &\le C\int _{\mathbb{R}^{n}} \left|y_2\ldots y_n\right|\left(\left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right|^2+\left| D_1D^{\beta+\gamma}f(y) \right|^2\right) \cdot |y|^{j+k-2|\alpha|+2} \; dy. \end{align} La repetición de este procedimiento podemos obtener, finalmente, \begin{align} \left(\int _{\mathbb{R}^n} \left|y^\alpha\right|\cdot |y|^{j-2|\alpha|} \cdot \left| D^{\beta+\gamma}f(y) \right| \; dy\right)^2\le C \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^{m+n+1} |D^{\beta} f(y)|^2 \; dy. \end{align} Por lo tanto \begin{equation} \| f \|_{m,\mathcal{S}}^2 \leq C \sum_{|\beta|=0}^{n+m} \int _{\mathbb{R}^n} (1+|y|)^{m+n+1} |D^{\beta} f(y)|^2 \; dy, \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{equation} Esto es más fuerte de lo que nosotros deseamos.