Para este continuo periódico $g:\Bbb R\to \Bbb R$ y $f_n(x):=g(x/n)$ , lo hace $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ ¿convergen uniformemente?

Question

No encuentro un contraejemplo aunque tengo la sensación de que no es cierto.

Dejemos que $\ g: \mathbb{ R} \rightarrow \mathbb{R}$ función continua

$ \forall x \in \mathbb{R} \ g(x+1) = g(x)$

$g(0) = 0$

Dejemos que $(f_n)_{n=1}^{\infty} \ f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\forall n \in \mathbb{N} \ f_n(x) = g(\frac{x}{n})$

Entonces $ \ (f_n)_{n=1}^{\infty} \ $ es la convergencia uniforme en $ \ \mathbb{R} \ $ a $0$

Así que claramente podemos ver que hay una convergencia puntual $\ \forall x \in \mathbb{R} \ $ a $0$

Y como hay un ciclo que necesito para comprobar sólo lo que está sucediendo en $[0,1]$

foreach $ \epsilon \ \exists x\in [0,1] \ g(x) = \epsilon $ por lo que debe haber un tal $N \in \mathbb{N}$ para que incluso para los "peores" $x$ podemos decir que $|g(\frac{x}{n})| < \epsilon$

Esta es mi prueba no formal.

Entonces, ¿es buena la prueba?

¿Estoy en lo cierto?

Si no es cierto, por favor explíqueme qué estoy haciendo mal y dé un contraejemplo.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Con la definición

$$f_n(x) = g\left(\frac{x}{n}\right),$$

está claro que

$$f_n(\mathbb{R}) = \{ f(x) : x \in \mathbb{R}\} = \{ g(y) : y \in \mathbb{R}\} = g(\mathbb{R}) = g([0,\,1]).$$

Así que, para todos $n$ tenemos $\sup\limits_{x\in\mathbb{R}} \lvert f(x) - g(0)\rvert = \max\limits_{y\in [0,\,1]} \lvert g(y) - g(0)\rvert$ .

Por lo tanto, la secuencia converge uniformemente en todo $\mathbb{R}$ si y sólo si $g$ es constante.

$f_n$ converge uniformemente a $g(0)$ en todos acotado subconjuntos de $\mathbb{R}$ Sin embargo.