¿Son dos variables aleatorias independientes si su soporte tiene una dependencia?

Question

Esta podría ser una pregunta realmente tonta, pero en un PDF conjunto de$X$ y$Y$,$f_{XY}(x,y)$, si el soporte de una variable aleatoria$Y$ depende de$X$, ¿son las dos variables aleatorias necesariamente dependientes? Por ejemplo, si uno tiene$f_{XY}(x,y)=1/x$, donde$0<y<x<1$, entonces se puede decir que$X$ y$Y$ no son independientes simplemente al examinar el soporte y ni siquiera mirar el$1/X$? Mi intuición sugiere que no pueden ser independientes.

Answer 1

Me he convencido a mí mismo de la respuesta, así que estoy respondiendo a mi propia pregunta.

He llegado a la conclusión de que si existe una dependencia entre el $X$ $Y$ en el apoyo de un bivariante pdf, a continuación, $X$ $Y$ no puede ser independiente. Para estar seguro, no es un Lexema (4.2.7 en Casella y Berger de la Inferencia Estadística, 2d) de que los estados: Vamos a ($X$,$Y$) ser un bivariante vector aleatorio con articulación pdf o pmf $f(x,y)$. A continuación, $X$ $Y$ variables aleatorias son independientes si y sólo si existe funciones de $g(x)$ $h(y)$ tal que para cada $x$ $\in\mathbb{R}$ y $y$ $\in\mathbb{R}$:

$f(x,y)=g(x)h(y)$

Si incorporamos el apoyo (por ejemplo,$0<y<x<1$) como un indicador de la función en la articulación de pdf (por ejemplo,${f_{XY}(x,y)=xy}I_{(0<y<x<1)}$, entonces el conjunto PDF no puede ser escrito como un producto de sólo $g(x)$ y sólo el $h(y)$, lo $X$ $Y$ no puede ser independientes).