Evaluar un límite usando el teorema de compresión

Question

Se supone que debemos usar el Teorema de Squeeze para demostrar que

PS

Intenté esto:

$$\lim_{x\to 0} {1-\cos x\over x^2} = \frac12$ $$$-1\le \cos x \le 1$ $$$-1\le -\cos x \le 1$ $$$0\le 1-\cos x \le 2$ $

Luego usando límites tenemos:

PS

Y por razones obvias, el primer límite es$$0\le {1-\cos x\over x^2} \le {2\over x^2}$, y el tercer límite es$$\lim_{x\to 0}0\le \lim_{x\to 0} {1-\cos x\over x^2} \le \lim_{x\to 0}{2\over x^2}$

¿Qué hago ahora? ¿O qué estoy haciendo mal?

Gracias por adelantado

Answer 1

Esto puede ser una exageración, pero de acuerdo con el teorema de Taylor, para cualquier valor distinto de cero $x$ usted puede encontrar $\xi_x$ entre cero y $x$ de tal manera que $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4!} \cos(\xi_x) \cdot x^4. $$ Por lo tanto, la transposición de los términos, se obtiene $$ \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!} \leq \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!} \cos(\xi_x) \leq \frac{1}{2} + \frac{x^2}{4!}, \quad x \neq 0. $$ Obviamente $$ \lim_{x\to 0} \frac{1}{2} \pm \frac{x^2}{4!} = \frac{1}{2} $$ y listo.

Answer 2

Tus límites no parecen lo suficientemente apretados. Si sabe cómo exprimir$\frac{\sin(x)}{x}$, entonces una posible solución sería reducir su límite a$\frac{\sin^2(x)}{x^2}$ y exprimirlo.