Enfoque de diferenciales virtuales para la ecuación de Euler-Lagrange: ¿es necesario?

Question

Actualmente estoy aprendiendo mecánica intermedia y estoy teniendo problemas con la derivación de las diferenciales virtuales basadas en d'Alembert para la ecuación de Euler-Lagrange. La noción y la justificación de utilizar diferenciales "ficticias" en un intervalo de tiempo cero no me convencen. También me he dado cuenta de que no todos los autores de libros de texto lo invocan, así que me pregunto hasta qué punto es necesario, dado que el principio de Hamilton nos lleva a E-L sin problemas. Así que, ¿necesitaré alguna vez este enfoque de desplazamiento/trabajo virtual para algo que no sea una ruta a E-L, o puedo despedirme de él sin problemas?

Answer 1

Para todas las aplicaciones prácticas de la física moderna (con la posible excepción de ciertas aplicaciones en ingeniería mecánica), uno puede olvidarse con seguridad del principio de d'Alemberts y del principio del trabajo virtual. Por lo general, sólo se necesita el principio de acción estacionaria y las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Sin embargo, si uno pertenece al grupo de personas que encuentra las leyes de Newton más intuitivas que las ecuaciones de Lagrange, entonces es, por razones puramente teóricas, inmensamente satisfactorio ver las ecuaciones de Lagrange derivadas de las leyes de Newton. Esto se hace, por ejemplo, en el primer capítulo de Herbert Goldstein, Mecánica clásica.

Un elemento importante en esta derivación es mostrar que una gran clase de fuerzas de restricción no trabajo virtual , lo que lleva a El principio de D'Alembert .

[En las clases elementales de mecánica clásica sólo se suele mostrar la derivación opuesta (casi trivial) de las ecuaciones de Lagrange a la segunda ley de Newton (sin restricciones)].

Por último, mencionemos que las trayectorias virtuales desempeñan un profundo papel en la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica.

Answer 2

Nunca he necesitado realmente utilizar el principio del trabajo virtual en la práctica (ni como estudiante, ni en la investigación), así que personalmente creo que es seguro decir que no es necesario que dediques demasiado tiempo a esto.

Dicho esto, existe una formulación matemáticamente rigurosa de los desplazamientos virtuales y del trabajo virtual que está muy oscurecida (al menos en mi opinión) por la mayoría de los físicos. Esta formulación consiste básicamente en desplazamientos virtuales considerados como vectores tangentes al colector de configuración del sistema. Hay una maravillosa descripción de todo esto en el libro Física para matemáticos: Mecánica 1 de la autora Spivak, pero creo que la mayor parte del contenido de ese libro relativo al trabajo virtual puede encontrarse en el conjunto de notas La mecánica elemental desde el punto de vista del matemático en el que se basó el libro. Véase especialmente la página 63 y el enunciado del Principio de d'Alembert.

Answer 3

No se trata de un adiós o un hola :) Este principio muestra por qué las ecuaciones E-L son útiles - porque usted PUEDE no molestarse con las fuerzas de restricción, y escribir todos los problemas divertidos de la mecánica directamente usando fuerzas generalizadas.