No es un hecho bien conocido que un compacto, el espacio-tiempo necesariamente contiene un cerrado timelike de la curva (CTC). La prueba se puede encontrar en varios libros sobre los recursos genéticos (por ejemplo, Hawking, Ellis, la Proposición 6.4.2), y en esencia es similar a esto:
El espacio-tiempo $M$ puede ser cubierto por la apertura de los conjuntos de la forma $I^+(p)$, cronológico futuro de el punto de $p \in M$ (tenga en cuenta que a priori $p$ no es un elemento del conjunto a $I^+(p)$, pero esta situación puede ocurrir en presencia de Ctc). Ahora, supongamos que el $M$ es compacto. A continuación, hay un número finito de subcover, dicen
$$\{ I^+(p_1), \dots, I^+(p_n) \}$$
El punto de $p_1$ está contenido en $I^+(p_{k_1})$ algunos $1 \le k_1 \le n$, el punto de $p_{k_1}$ está contenido en $I^+(p_{k_2})$, y así sucesivamente. Desde este subcover es finito, por fin, algún punto de $p_{k_r}$ debe pertenecer a $I^+(p_{k_s})$,$s \le r$. A continuación, hay un futuro dirigido timelike curva que va desde $p_{k_r}$ $p_{k_s}$(desde $s \le r$) y, a continuación, de $p_{k_s}$ $p_{k_r}$ (desde $p_{k_r} \in I^+(p_{k_s})$), lo que da un cerrado timelike curva a través de $p_{k_r}$ (e $p_{k_s}$)$M$. Q. E. D.
La pregunta que me molesta es: ¿qué se supone implícitamente sobre el espacio-tiempo $M$, diciendo que la familia de conjuntos de la forma $I^+(p)$ es de hecho una cubierta de $M$?
Tomemos, por ejemplo, un plano espacio-tiempo con el compacto parte espacio y tiempo finito dirección, por ejemplo, $M = [0,1] \times T^3$ donde $T^3$ es un (spacelike) 3-toro. Este es un compacto de colector (ya que es un producto de dos compacto colectores) y no hay ningún Ctc. La brecha en el argumento anterior parece ser en el hecho de que los "puntos iniciales", $\{0\} \times T^3$, no están cubiertos por cualquier conjunto de la forma $I^+(p)$.
Uno puede fácilmente modificar este ejemplo mediante la contratación de la inicial y la final spacelike de rebanadas de puntos ("Big Bang" y "Big Crunch"); el resultado de espacio-tiempo es muy compacta y no contiene Ctc.
Hacer estos colectores no ser "regular spacetimes" por alguna razón?
