¿Los símbolos de Christoffel son conmutativos? Por ejemplo, ¿$\Gamma^{e}_{db}\Gamma^{c}_{ea} = \Gamma^{c}_{ea}\Gamma^{e}_{db}$?
Respuestas
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RichieACC
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Esto podría ser demasiado, pero aquí va:
Sea $\pi:E\rightarrow B$ un fibrado de fibras arbitrario con fibra típica $F$ y $\Phi=\tau\times\varphi$ una trivialización local sobre $U\subset B$ $$ \Phi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times F $$
Geométricamente, el símbolo de Christoffel $\Gamma$ de una conexión es un elemento $$ \Gamma\in\mathrm{Hom}(\tau^*(\mathrm TU),\varphi^*(\mathrm TF)) $$ lo cual significa que para cada $e\in E$, hay un mapa lineal $$ \Gamma(e):\mathrm T_{\tau(e)}U\rightarrow\mathrm T_{\varphi(e)}F $$
En general, hablar de la composición $$ \Gamma(e)\circ\Gamma(e') $$ no tiene sentido ya que los dominios y codominios no coinciden.
En relatividad, sin embargo, $E=\mathrm TB$ lo que nos permite identificar estos espacios y terminamos con $$ \Gamma(V):\mathrm T_bU\rightarrow\mathrm T_bU $$ donde $V\in\mathrm T_bU$ es un vector tangente, por ejemplo una 4-velocidad.
Dado que $\Gamma(V)$ es lineal, puede expresarse en coordenadas locales mediante multiplicación de matrices $$ W^i\mapsto\Gamma(V)^i{}_j W^j $$ En el caso de la conexión de Levi-Civita, el mapa $$ V\mapsto\Gamma(V) $$ también es lineal y llegamos a $$ W^i\mapsto(\Gamma_k V^k)^i{}_j W^j = \Gamma_k{}^i{}_j V^k W^j $$
Las composiciones son $$ (\Gamma(V)\circ\Gamma(W))^i{}_j = \Gamma_k{}^i{}_a \Gamma_l{}^a{}_j V^k W^l \\ (\Gamma(W)\circ\Gamma(V))^i{}_j = \Gamma_l{}^i{}_a \Gamma_k{}^a{}_j V^k W^l $$ las cuales en general no conmutan.
heathrow
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25
No viajan en este sentido, excepto si estropeaste el conmutador. Debería ser
$$\Gamma^{e}_{db}\Gamma^c_{ea} - \Gamma^c_{eb}\Gamma^{e}_{da}$$
Lo cual es
$$ \Gamma_b \Gamma_a - \Gamma_a \Gamma_b $$
en forma de matriz, donde he tomado un índice superior y un índice inferior y los he suprimido en el símbolo de Christoffel (cualquiera de los índices inferiores no importa, debido a la simetría en los índices inferiores). Esto tiene la interpretación que doy a continuación.
Los símbolos de Christoffel son la forma en coordenadas de las rotaciones infinitesimales asociadas con el transporte paralelo de un vector una distancia corta. Si todos los marcos fueran ortonormales, el transporte paralelo sería de rotaciones SO, y la forma infinitesimal sería una serie de cosas en la álgebra de Lie de SO, y estas son matrices antisimétricas (o la representación de índice superior de formas antisimétricas para el caso Lorentziano). Sus conmutadores te indican cuándo las rotaciones correspondientes a moverte en una dirección determinada no conmutan con la rotación correspondiente a moverte en otra dirección.
Para una base de coordenadas para el espacio tangente, los vectores base no son ortonormales, por lo que los coeficientes de conexión no cumplen las condiciones del álgebra de Lie, pero siguen siendo no conmutativos. Puedes verificar fácilmente esto en un ejemplo genérico mediante un cálculo directo, pero también es obvio en aquellos casos en los que elijas casualmente coordenadas donde la base de coordenadas sea ortogonal, como coordenadas esféricas, y pienses en las diferentes rotaciones de coordenadas asociadas con el transporte paralelo en diferentes direcciones infinitesimales.
