Ejercicio :
Considere el sistema dinámico : $$x' = -x +y^3$$ $$y' = -y+ax^3$$ con $(x,y) \in \mathbb R^2$. Encontrar el punto fijo del sistema y el estudio de su estabilidad para cada valor de $a$. Mostrar que si $a=1$ $V(x,y) \leq R$ donde $R>0$ es una constante y $V(x,y) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2$, entonces la derivada $V'(x,y)$ a lo largo de las soluciones del sistema dinámico, satisface la desigualdad $V'(x,y) \leq -2(1-R)V(x,y)$ y, por último, la estimación de la estabilidad de la zona de $(0,0)$ para el caso de $a=1$ el uso de la Funcional de Lyapunov dado.
Intento / Pregunta :
Para la primera parte, he elaborado una completa solución, como uno puede encontrar fácilmente los puntos estacionarios de resolver el sistema :
$$\begin{cases} -x+y^3 \space\space=0\\ -y + ax^3=0\end{cases}$$
que los rendimientos de $3$ diferentes puntos estacionarios $(x,y)$.
Para la estabilidad y el tipo de los puntos estacionarios, es suficiente para encontrar los autovalores para cada punto fijo para la linealización de la matriz jacobiana), que es :
$$J(x,y) = \begin{bmatrix} -1 & 3y^2 \\ 3ax^2 & -1 \end{bmatrix}$$
Para la parte de la pregunta en la que tengo un problema ahora, con respecto a la siguiente segmento del problema :
El funcional derivado, es dada como :
$$\dot{V}(x,y) = \nabla V(x)f(x,y) = V_xf_x + V_yf_y = 2x(-x+y^3)+2y(-y+x^3) $$
$$\Leftrightarrow$$
$$\dot{V}(x,y) = -2x^2 + 2xy^3 - 2y^2 + 2yx^3$$
$$\Leftrightarrow$$
$$\dot{V}(x,y) = -2x^2 - 2y^2 + 2xy(y^2 + x^2)=-4V(x,y) + 4xyV(x,y)= 4V(x,y)(xy-1)$$
A partir de este punto, aunque, ¿cómo se podía proceder a demostrar la desigualdad a la que se le pide ? $$\dot{V}(x,y) \leq -2(1-R)V(x,y)$$
Para la parte final, supongo que sólo desea establecer un dominio para la constante de $R$ de manera tal que el funcional es negativo, pero me corrija si estoy equivocado.
