Notaciones de expectativa

Question

En la Teoría de la Decisión Estadística, a menudo uno de los estudios de las dos medidas siguientes (de "El Bayesiano Elección"):

El promedio de pérdida (también conocido como el frecuentista de riesgo):

$R\left(\theta,\delta\right) = \mathrm{E}_\theta\left[L\left(\theta,\delta(x)\right)\right] = \int_X L\left(\theta, \delta(x)\right)f(x|\theta)dx$

Posterior pérdida esperada:

$\rho(\pi, d|x) = \mathrm{E}^\pi\left[L\left(\theta,d\right)| x\right] = \int_\Theta L\left(\theta,d\right)\pi\left(\theta|x\right)d\theta$

Estoy confundido por esta notación: ¿Qué subíndices (por ejemplo,$\theta$$\mathrm{E}_\theta$), superindices (por ejemplo,$\pi$$\mathrm{E}^\pi$) y condiciones (por ejemplo,$x$$L\left[.|x\right]$ ) representar a la hora de definir las expectativas?

Como referencia, en las fórmulas anteriores:

• $\delta(x)$ es conocido como la regla de decisión (es decir, la asignación de una decisión de cada uno de los resultados x $\sim$ $f(x|\theta)$
• El valor de $\delta(x)$ es también conocida como la estimación de $\theta$
• La función de $\delta$ es conocido como el estimador de
• $\pi$ es la distribución posterior de los $\theta$ $x$

Answer 1

Puede ser útil para aislar todas las partes en movimiento en una determinada expectativa. Al hacerlo, recordemos que una expectativa es una Lebesgue-Stieltjes integral.

Voy a adaptar la notación ligeramente y el uso de $X$ para denotar una variable aleatoria, $x$ para denotar un valor fijo tomado por la variable aleatoria en su apoyo, que es, $x\in\mathcal{X}\equiv\text{support}(X)$.

• Para el promedio de pérdida, puede ser útil distinguir entre el verdadero parámetro de $\theta_0$ y el valor del parámetro $\theta$ a que el riesgo de que el estimador $\delta$ está siendo evaluado.

$$ \begin{align} R(\theta, \delta) &= \mathbb{E}_{\theta_0} \left(L(\theta, \delta(X)\right)),\, \theta\in \Theta\\ &=\int_\mathcal{X} L(\theta,\delta(x)) \, d\mathbb{P}_{\theta_0}(x) \end{align} $$ Tenga en cuenta que la integración de aquí es con respecto a la verdad de probabilidad subyacentes medida de la generación de la variable aleatoria $X$, que pertenece a la clase de modelo $\mathcal{P} = \{\mathbb{P}_\theta\mid \theta \in \Theta\}$, $\mathbb{P}_{\theta_0}\in \mathcal{P}$.

Si la probabilidad de medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces se puede escribir de forma equivalente, como tú han escrito $$ \begin{align} R(\theta, \delta) &= \int_\mathcal{X}L(\theta, \delta(x))f(x\mid \theta_0)\, dx \end{align} $$

• Para la pérdida posterior, que se define condicionada a un valor de $x \in \mathcal{X}$, que es la que está condicionada a que después de haber observado los datos a ser $X=x$, las cosas son más sencillas. Simplemente dice que la expectativa es una integral con respecto a la posterior, lo cual está condicionado por el valor de la $X$, y si los datos fueran a cambiar, la posterior iba a cambiar, y eso sería la parte posterior de la pérdida esperada.

La siguiente notación podría aclarar las cosas (o no),

$$ \begin{align} \rho(\pi(\mid x), d \mid X=x) &= \mathbb{E}^{\pi(\mid x)}\left(L(\theta, d)\mid X=x\right) \\ &= \int_\Theta L(\theta, d)\pi(\theta \mid x)\, d\theta \end{align} $$ para indicar exactamente el lugar donde acondicionado variable aparece en la integral.