¿Ángulos subtendidos por una arista en un dodecaedro regular?

Question

Si tengo un dodecaedro regular y construyo líneas entre el centro del dodecaedro y sus vértices. ¿Cómo puedo calcular el ángulo entre dichas líneas, subtendido por una arista? Esta imagen puede explicar mejor lo que quiero decir

Por ahora, estoy pensando en calcular el radio de la esfera circunscrita y luego utilizar la ley del coseno para averiguar el ángulo. ¿Hay alguna forma más sencilla?

Answer 1

Hay un cubo inscrito en un dodecaedro regular, lo que ayudará a calcular el radio de la esfera circunscrita.

Supongamos que el dodecaedro regular tiene una longitud de arista $1$ . La arista del cubo es la diagonal de un pentágono regular unitario:

$$\begin{align*} \text{Side of cube} &= \text{Diagonal of a pentagon face}\\ &= \frac{1+\sqrt 5}2\\ &= \varphi \end{align*}$$

El diámetro de la esfera circunscrita es la diagonal espacial de ese cubo inscrito, que es justo $\sqrt 3$ veces la longitud del lado del cubo:

$$\begin{align*} \text{Diameter of sphere} &= \sqrt 3\cdot \text{Side of cube}\\ &= \sqrt 3\varphi\\ \text{Radius of sphere} &= \frac{\sqrt3}2\varphi \end{align*}$$

Como en el diagrama de la pregunta, utilizando la ley del coseno con un triángulo formado por el centro de la esfera y una arista del dodecaedro:

$$\begin{align*} \cos\alpha &= \frac{r^2 + r^2 - 1^2}{2r^2}\\ &= \frac{2 - r^{-2}}{2}\\ &= \frac{2-\frac43\varphi^{-2}}{2}\\ &= \frac{2-\frac23(3-\sqrt5)}{2}\\ &= \frac{\sqrt5}3\\ \alpha &\approx 41.81^\circ \end{align*}$$

Answer 2

El plano que pasa por dos aristas opuestas del dodecaedro es una bisectriz del ángulo entre dos caras adyacentes. A partir de aquí puedes empezar a trabajar con la pirámide pentagonal regular.

Answer 3

Si estás dispuesto a creer Wolfram Cloud Sandbox el siguiente código

With[{vc = PolyhedronData["Dodecahedron", "VertexCoordinates"]},
ArcCos[Dot[vc[[1]], vc[[14]]]/Norm[vc[[1]]]^2] // FullSimplify]

devuelve el resultado $\, \textrm{arcsec}(3/\sqrt{5}) = \textrm{arcsin}(2/3)\,$ que se traduce en $\,\approx 0.729727 \approx 41.8103^\circ.$

Answer 4

En primer lugar, has dibujado un dodecaedro. "Hedron" significa "cara" y la cosa con las caras pentagonales tiene 12 caras y 20 vértices, no al revés.

Pensemos en el dodecaedro proyectado radialmente sobre la esfera en la que está inscrito. Sea $A$ y $B$ sean dos vértices adyacentes cualesquiera y dibujar un triángulo esférico cuyo vértice $C$ es el centro de la cara de un pentágono que tiene $AB$ como uno de sus objetivos.

Ángulo $A$ mide la mitad del ángulo en el vértice, lo que en la proyección esférica significa que mide $60°$ . Lo mismo ocurre con el ángulo $B$ . Ángulo $C$ mide un quinto de revolución $=72°$ . A partir de los ángulos del triángulo se pueden obtener los arcos utilizando las leyes esféricas de los cosenos [sic; hay dos para elegir] y luego el arco $AB$ mide el ángulo central que desea.

También puede repetir esto con $AB$ como una diagonal de la cara en lugar de una arista, y compara tu resultado con la arista de un cubo.

Answer 5

Tomo como referencia la imagen proporcionada en la respuesta de peterwhy, especialmente su código de colores.

La longitud de la arista viene dada por la distancia vertical de los 2 vértices verdes vecinos. La altura del cubo inscrito, es decir, la distancia de los vértices naranjas, es $\varphi$ veces más grande (la proporción áurea, $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ). La distancia vertical entre los 2 vértices azules será entonces $\varphi^2$ .

El ángulo $\alpha$ entonces es sólo el ángulo central de ese rectángulo con los 4 vértices azules. Alternativamente, usted tendrá $1:\varphi^2=\tan(\frac{\alpha}{2})$ o, resolviendo sobre la cantidad buscada, $\alpha=2\arctan(\varphi^{-2})=41.81...°$ .

--- rk