Gracias por leer mi post. Estoy tratando de probar la siguiente afirmación:
Si tenemos \begin{equation*} \left\|\hat{f}\right\|_{L^q(N_{1/R}(S))}\lesssim R^{\alpha-1/q}\left\|f\right\|_{L^p(B(0,R))} \end{equation*} entonces tenemos \begin{equation*} \left\|\hat{f}|_{S}\right\|_{L^q(S; d\sigma)}\lesssim R^{\alpha}\left\|f\right\|_{L^p(B(0,R))} \end{equation*} en el que $S$ es la esfera estándar en $\mathbb{R}^n$ , $N_{1/R}(S)$ es el $1/R$ barrio de la esfera. $R\gg1$ . En particular $f$ es compatible con el $R$ -bola $B(0,R)$ .
Este es, de hecho, el problema 2.2 de la obra de Tao Avances recientes en la conjetura de restricción lecuras, véase arxiv página 26. Lo que pude hacer hasta ahora, es tomar una función de bache $\psi(z/R)$ tal que $\psi(z)=1$ cuando $|z|\leq 1$ . Entonces utilizamos el hecho
\begin{equation*} \hat{f}=\hat{f}\ast\hat{\psi}=\int R^n\hat{\psi}(R(\xi-\eta))\hat{f}(\eta)d\eta\hspace{2cm}(1) \end{equation*} para calcular su $L^q(S)$ norma. Es fácil ocuparse de la parte cuando $|\xi-\eta|<1/R$ en $(1)$ . Entonces, utilizando el hecho $\psi(z)$ se descompone rápidamente cuando $|z|>1$ nosotros también podemos deshacernos fácilmente de parte $|\xi-\eta|>1$ ( o una pequeña potencia de $1/R$ ) en $(1)$ . Sin embargo, estoy teniendo dificultades en el tratamiento de la parte $1/R\leq|\xi-\eta|\leq1$ y especialmente cuando $|\xi-\eta|$ es más grande pero cerrado a $1/R$ . ¿Debo utilizar alguna descomposición diádica o estoy trabajando en la dirección equivocada?
Gracias.
