Sindicatos de familias

Question

Tengo dos familias contables de conjuntos$A_i$ y$B_i$ indexadas por$\mathbb{N}$. Quiero probar que:

PS

Y ya he probado que son iguales para la unión finita, es decir:

PS

para todos $$ \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} Bi $.

¿Es eso suficiente para completar la prueba? Si es así, me estoy perdiendo el argumento formal para hacerlo. No puedo tomar un "límite" en$$ \bigcup_{i = 1}^n A_i = \bigcup_{i = 1}^n Bi $ o similar. ¿Que debería hacer entonces?

Answer 1

Si$x\in\bigcup_{j\in\mathbb N}A_j$, entonces existe$n$ con$x\in A_n$. Entonces $$ x \ en A_n \ subconjunto \ bigcup_ {j = 1} ^ nA_j = \ bigcup_ {j = 1} ^ nB_j \ subconjunto \ bigcup_ {j \ in \ mathbb N} B_j. $$ Esto muestra que$\bigcup_{j\in\mathbb N}A_j\subset \bigcup_{j\in\mathbb N}B_j$. Ahora puede intercambiar los roles de ese$A_j$ y$B_j$ para obtener la inclusión inversa.

Answer 2

Si las uniones finitas de conjuntos en las dos familias son iguales, entonces defina$A'_n = \bigcup_{i=1}^n A_i$ y sim para$B_n'$. Entonces claramente$B_n' = A_n'$, y tenemos$\bigcup^{\infty} A_i = \bigcup^{\infty} A_n' = \bigcup^{\infty} B_n' = \bigcup^{\infty} B_i$, QED . Pero me gusta más la respuesta anterior.

Ese truco de definir nuevos conjuntos para que sean la unión finita hasta$n$ de la secuencia de conjuntos se usa todo el tiempo, por ejemplo, mucho en la teoría de la medida.